平面向量及常见题型

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1、平面向量及常见题型向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法=向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=☆

2、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1)若，则，(2)若，则(3)若=(x,y)，则=(x,y)(4)若，则(5)若，则，☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定☆向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影☆数量

3、积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：☆乘法公式成立：；☆向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点经典例题例1．已知是所在平面内一点，为边中点，　且，那么（　　）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．　　解：　　　　.故选A．例2．在平行四边形中，，M为BC的中点，则______.

4、（用表示）命题意图:本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.　解：由得，，所以。例3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量(　)　　（A）　　（B）　　　（C）　　　（D）命题意图:本题主要考查向量的加法和减法运算能力.　　解：，故选A.例4.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足且顺时针旋转后与同向，其中，则（　）（A）　　　　　　　（B）　　（C）　　　　　　　（D）　命题意图:本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.　　常规解法：∵，∴故把2(i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合

5、，故，应选D.　　巧妙解法：令，则，由题意知，从而排除B，C，同理排除A，故选D.点评：巧妙解法巧在取，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.例5．设向量与的夹角为，且，，　　　　　　则　　　　_．命题意图:本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.　　解:设，由　　　　得　∴时，，故填例6．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且　　（），过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．　　（Ⅰ）证明为定值；　　（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，

6、并求S的最小值．　　命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.　　解：　　(Ⅰ)由已知条件，得，．　　　　设，，则，．　　　　由，得即　　　　　将（1）式两边平方并把，代入得　　（3）　　　　解（2）（3）式得，，且有，　　　　抛物线方程为，求导得．　　　　所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，　　　　即，．　　　　解出两条切线的交点M的坐标为即．　　　　　∵，　　　　所以　　　　所以为定值，其值为0．　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，，，　　　　

7、因而．　　　　　　　因为

8、AF

9、、

10、BF

11、分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，　　　　所以　　　　于是，　　　　由知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．向量常见题型类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量，满足且满足，则的夹角为2.已知非零向量满足，则的夹角为3.已知平面向量满足且，则的夹角为4.设非零向量、、满足，则5.已知类型（二）：向量共线问题1.已知平面向量，平面向量若∥，则实数2.设向量若向量与向量共线，则3.已知向量若平行，则实数的值是（）A．-2B．0C．1D．25．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-

12、4共线，求实数k的值；6．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，2）若，且∥，求的坐标类型（三）:向量的垂直问题1．已知向量，则实数的值为2．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值3．已知求与垂直的单位