高考常考的超越函数—双曲函数

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1、高考常考的超越函数—双曲函数戴又发双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.一．定义xxxxeeee我们定义函数sinhx为双曲正弦函数．函数coshx为双曲余弦22xxee函数．函数tanhx为双曲正切函数．xxee并将它们统称为双曲函数．二．双曲函数的图象与基本性质

2、xxee1．双曲正弦函数sinhx的图象和基本性质2定义域：R；值域：R；单调性：增函数；奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；零点：x0；12反函数：sinhxln(x1x)．xxee2．双曲余弦函数coshx的图象和基本性质2定义域：R；值域：[1,)；单调性：在(,0)上单调减函数；在(0,)上单调增函数；奇偶性：偶函数；最小值：1．xxee3．双曲正切函数tanhx的图象和基本性质xxee定义域：R；值域：(1,1)；单调性：增函数；奇偶性：奇函数；111x反函数：tan

3、hxln21x三．重要关系sinhx1．商数关系：tanhx；coshx222．平方关系：coshxsinhx13．加法公式：sinh(xy)sinhxcoshycoshxsinhycosh(xy)coshxcoshysinhxsinhytanhxtanhytanh(xy)1tanhxtanhy4．减法公式：sinh(xy)sinhxcoshycoshxsinhycosh(xy)coshxcoshysinhxsinhytanhxtanhytanh(xy)1t

4、anhxtanhy5．二倍数公式：sinh2x2sinhxcoshx2222cosh2xcoshxsinhx2coshx12sinhx12tanhxtanh2x21tanhx四．导数性质1．(sinhx)coshx；2．(coshx)sinhx23．(tanhx)1tanhx五．高考试卷中的双曲函数xxee例1.【2009年山东理科第6题】函数y的图像大致为xxeeyyyy1111Ox11OxO1xO1xDABCxx【解析】函数有意义，需使ee0，其定义域为x

5、x0，

6、排除C，D，又因为xx2xeee12y1，所以当x0时函数为减函数，故选A．xx22xxeee11e答案：A．【命题立意】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象，这个函数也叫双曲余切函数．考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的双曲余切函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内考察其余的性质．2例2.【2015年新课标Ⅰ第13题】若函数f(x)xln(xax)为偶函数，则a2【解析】因为函数f(x)xln(xax)为偶函数，22由f(x)f(x)x

7、ln(xax)[xln(xax)]0，22得ln(xax)ln(xax)0，22ln(axx）lna0．所以a1．2【命题立意】本题已知函数f(x)xln(xax)为偶函数，能得到函数xx22eeg(x)ln(xax)应为奇函数，而函数ln(x1x)正是双曲正弦函数2的反函数，且为奇函数，故a1．本题的根仍为双曲函数．例3.【2015年湖北文科卷21】设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，xf(x)g(x)e，其中e为自

8、然对数的底数.（Ⅰ）求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x0x0时，f(x)0，g(x)1；f(x)（Ⅱ）设a0，b1，证明：当x0时，ag(x)(1a)bg(x)(1b).x【解析】（Ⅰ）由f(x)，g(x)的奇偶性及xf(x)g(x)e①x得：f(x)g(x)e②1xx1xx联立①②解得f(x)(ee)，g(x)(ee)22xx当x0时，e1，0e1，故f(x)0③1xxxx又由基本不等式，有g(x)(ee)ee1，即g(x)1④21xx1

9、xx（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)(ee)，g(x)(ee)221xxf(x)(ee)g(x)，⑤21xxg(x)(ee)f(x)，⑥2f(x)当x0时，ag(x)(1a)等价于f(x)axg(x)(1a)x，⑦xf(x)bg(x)(1b)等价于