《数值分析习题课》PPT课件

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1、数值分析复习第一章绪论§1绪论：数值分析的研究内容§2误差的来源和分类§3误差的表示§4误差的传播§5算法设计的若干原则一、误差的分类（绝对误差，相对误差）例1-1设x*=2.18是由精确值x经过四舍五入得到的近似值。问x的绝对误差限ε和相对误差限η各是多少？解：因为x=x*±0.005，所以绝对误差限为ε=0.005相对误差限为二、有效数字则称近似数x*具有n位有效数字。定义设数x的近似值可以表示为其中m是整数,αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，而α1≠0.如果其绝对误差限为结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。例1-2

2、下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。有5位有效数字。同理可以写出可以得出x2,x3,x4各具有4、3、4位有效数字。x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450×10-2已知例1-3已知e=2.718281828……,试判断下面两个近似数各有几位有效数字？解：由于而所以e1有7位有效数字。同理：e2只有6位有效数字。三、算法设计的若干原则1：两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)练习：求方程x2-56x+1

3、=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字第二章插值与拟合1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与插值余项估计，及证明过程。2、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的算法，基函数法，重节点差商表的构造；3、分段插值及三次样条插值的构造4、最小二乘拟合掌握Lagrange插值多项式的构造方法及具体结构掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法掌握Newton插值多项式的形式及误差掌握差商表的构造过程关于离散数据：构造了lagrange插值多项式：Newton插值多项式：例1-3已知f(x)的五组数据(1,

4、0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五组数据列差商表10223124425116210307441022240.5628216646810.1得到：如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商由Newton公式的递推式得到：得到：2.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择）1.高次插值的Runge现象，应如何避免？3.Hermite插值的构造,误差估计4.三次样条函数的定义、构造过程5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非

5、线性拟合的处理方法）解：二、典型例题分析例1.令x0＝0，x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式L1(x),并估计插值误差．（P55,t14题）记x0＝0，x1＝1,y0＝e-0＝1，y1＝e-1;则函数y＝e-x以x0、x1为节点的一次插值多项式为因为y’(x)＝-e-x，y"(x)＝e-x，所以推广：等距节点(h),二次插值的误差界是例3．设f(x)＝x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式．解:记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为L3(x)．由插值余项定理有所以例4．证明由下列插值条件所确定的拉格朗日插值多项式是

6、一个二次多项式．该例说明了什么问题?(t8)以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则解:x0x2x4容易验证因而6个点(xi,yi)，i＝01,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1上．换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式为p(x)＝x2-1.分析:这是一个非标准插值问题,我们可以按各种思路去做．可按两种方法去做:一种是先求牛顿或拉格朗目型插值,再通过待定系数法求Pn(x)；另一种是先求埃尔米特插值,再通过待定系数法确定Pn(x)．下面给出三种做法．例6求一个次数不高于4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)=P4'(0)=0，P4(1)=P4'(1)

7、=1，P4(2)=1．解法一先求满足P4(0)=0，P4(1)=1，P4(2)=1的插值多项式P2(x)，易得显然P4(x)满足P2(x)的插植条件，利用两个导数条件确定系数A，B．由P4'(0)=0,P4'(1)=1解得A=1/4,B=-3/4.故设解法二先作满足埃尔米特插值多项式H3(x)．解法三构造插值基函数求.记x0=0，x1=1，x2=2，并设所求多项式为其中li(x)均为次数不超过4的多项式且满足如下条件：易知例11已知函数y=f(