数值分析-习题课2.ppt

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1、第四章数值积分与数值微分3.直接验证柯特斯教材公式（2.4）具有5次代数精度。证明：柯特斯公式为因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。解：辛普森公式为此时，从而有误差为解：采用复化梯形公式时，余项为又故当对区间[0,1]进行等分故有因此，将区间213等分时可以满足误差要求.采用复化辛普森公式时，余项为若故有因此，将区间8等分时可以满足误差要求。8.用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10-5.解：k014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.20457443

2、10.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分解：令,则用n=2的高斯-勒让德公式计算积分：用n=3的高斯-勒让德公式计算积分：(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解：(1

3、)采用龙贝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613(2)采用高斯公式时利用三点高斯公式，则利用五点高斯公式，则(3)采用复化两点高斯公式,将区间[1,3]分为四等份作变换，则作变换，则作变换，则作变换，则因此，有16.用辛普森公式（取N=M=2)计算二重积分解：e=2.71828x1.01.11.2F(x)0.

4、25000.22680.2066解：由带余项的三点求导公式可知故误差分别为利用数值积分求导，设由梯形求积公式得从而有故(1)(2)(3)即解方程组可得8.用直接三角分解（杜利特尔（Doolittle）分解）求解线性方程组.第5章解线性方程组的直接方法解：9.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中A=b=解设有分解=由公式则有由得由得10.用改进的平方根法解线性方程组解设=由矩阵乘法得由得由得故12.设计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数.解：=0.8426150==0.6853407故=0.827853118.设计算A的条件

5、数cond（A）V（v=2，∞）.解==39205.9745第6章解线性方程组的迭代法1.设线性方程组(1)考察用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2)用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组，要求当

6、

7、x(k+1)-x(k)

8、

9、∞<10-4时迭代终止。解：（1）因为系数矩阵严格对角占优，所以雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛。3.设线性方程组证明解此方程组的雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法同时收敛或发散.并求两种方法收敛速度之比.解：Jacobi迭代为其迭代矩阵谱半径为而Gauss-Seide迭代法

10、为其迭代矩阵其谱半径为由于故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散7.用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)精确解，要求当时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数.解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为取当时，迭代5次达到要求当当，迭代6次得时，迭代6次达到要求补充：1.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.2.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩阵为故因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子J法收敛速度由于故若要

11、求，于是迭代次数对于J法，取K＝15对于GS法，取K＝8对于SOR法，取K＝58.用SOR方法解方程组(取ω=0.9)要求当

12、

13、x(k+1)-x(k)

14、

15、<10-4时迭代终止.解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为迭代8次达到精度要求，