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1、2014届数学培优班专用资料函数的凹凸性一、知识定义：定义1:设函数在区间上可导，若函数图象位于每一点处切线的上方，则称函数在区间上是凹函数；若函数图象位于每一点处切线的下方，则称函数在区间上是凸函数的；定义2:设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点和实数,总有,则称函数在区间上是凸函数设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点和实数,总有,则称函数在区间上是凹函数特别的:当时设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点,总有,则称函数在区间上是凸函数设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点,总有,则
2、称函数在区间上是凹函数二、关于函数的凹凸性的充要条件设函数在区间上存在二阶导数，则在这个区间内1.函数是凹函数的的充要条件是.2.函数是凸函数的的充要条件是当.三、函数的凹凸性有关的重要不等式—琴生(Jensen)不等式:设函数是在区间上的凸(凹)函数,对于区间中的任意,均有()当且仅当时取等号.四.例题分析2014届数学培优班专用资料题1:已知函数是偶函数，（1）求的值；（2）证明：对任意实数和，都有。解：（1）∵函数是偶数，∴，即(2)故函数是凹函数,即题2.证明证明:设故是凹函数即令即题3(04全国高考第2
3、2题)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx。(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2(1),当当故当且仅当(2)要证0＜g(a)＋g(b)－2g(),只要证:只要证:是凹函数2014届数学培优班专用资料事实上故是凹函数又g(a)＋g(b)－2g()题4:已知函数(1)若,试比较的大小;(2)若,的大小与(1)一致,求实数的取值范围.提示(1)易证是凹函数(2)当或时易证是凹函数当且时,则或再分别代入恒成立可知题5.设f(x)是定
4、义在区间A上的连续函数，如果对任意x1、x2∈A(x1≠x2),当0＜＜1时，都有f［x1+(1－)x2］＞f(x1)+(1－)f(x2)成立，则称f(x)是区间A上的凸函数.(1)试判断f(x)=－x2是否为R上的凸函数，并证明你的结论；(2)设f(x)是R上的凸函数，对于任意x1、x2、x3∈R.求证：f()≥;(3)已知函数y=sinx在［0,］上是凸函数，在△ABC中，求sinA+sinB+sinC的最大值.解：任取x1≠x2.(1)f［x1+(1－)x2］－f(x1)－(1－)f(x2)=－［x1+(1
5、－)x2］2+x12+(1－)x22=－2x12－(1－)2x22－2(1－)x1x2+x12+(1－)x22=(1－)x12+(1－)x22－2(1－)x1x22014届数学培优班专用资料=(1－)(x1－x2)2.∵0＜＜1,x1≠x2,∴f［x1+(1－)x2］＞f(x1)+(1－)f(x2).4分∴f(x)=－x2是R上的凸函数.(2)对定义域内的任意x1、x2、x3有f()=f［］≥f()+f(x3)≥［］+f(x3)=.(3)由(2)知,又在△ABC中A+B+C=,∴sinA+sinB+sinC≤3s
6、in=.又当A=B=C=时等号成立.∴sinA+sinB+sinC有最大值.14分2014届数学培优班专用资料函数的凹凸性一、知识定义：定义1:设函数在区间上可导，若函数图象位于每一点处切线的上方，则称函数在区间上是凹函数；若函数图象位于每一点处切线的下方，则称函数在区间上是凸函数的；定义2:设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点和实数,总有,则称函数在区间上是凸函数设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点和实数,总有,则称函数在区间上是凹函数特别的:当时设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点,总
7、有,则称函数在区间上是凸函数设是定义在区间上的函数,若对区间上的任意两点,总有,则称函数在区间上是凹函数二、关于函数的凹凸性的充要条件设函数在区间上存在二阶导数，则在这个区间内1.函数是凹函数的的充要条件是.2.函数是凸函数的的充要条件是当.三、函数的凹凸性有关的重要不等式—琴生(Jensen)不等式:设函数是在区间上的凸(凹)函数,对于区间中的任意,均有2014届数学培优班专用资料()当且仅当时取等号.四.例题分析题1:已知函数是偶函数，（1）求的值；（2）证明：对任意实数和，都有。题2.证明2014届数学培优
8、班专用资料题3(04全国高考第22题)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx。(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2题4:已知函数（1）若,试比较的大小;（2）若,的大小与(1)一致,求实数的取值范围.2014届数学培优班专用资料题5.设f(x)是定义在区间A上的连续函数，如果对任意x1
