数学解题中的三种_引入_

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1、第2期高中数学教与学○学习指导○数学解题中的三种“引入”陈玉生(福建省上杭二中，364200)解数学题时，若能恰到好处地引入一些点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，有效的数学工具或方法，往往能简捷快速获1tanα=.试问，此人距水平地面多远时，观2解，收到事半功倍的效果.下面举例说明.一、引入直角坐标系看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)?%C直角坐标系实现了数与形之间的沟通.引入直角坐标系，可使我们的解题左右逢源.Bl例1当实数x，y满足约束条件Px≥0，αOA{y≤x，(k为常数)图22x+y+k≤0时，能使z=x+3y的最大值为12的k的值为%y(

2、)C(A)－12(B)－9(C)12(D)9BPl%yαy=xOAxP(-k,-k)图3332x+y+k=0解以O为原点建立平面直角坐标系Ox(如图3)，则A(200，0)，B(0，220)，C(0，图11300).直线l的方程为y=(x－200)，设点解在平面直角坐标系中，作出x，y所满2足的平面区域(如图1).易知，当直线z=x+1P(x，y)，则P(x，(x－200))(x>200).由3y经过直线y=x与2x+y+k=0的交点2kk经过两点的直线的斜率公式得(－，－)时，z取得最大值12.所以由331(x－200)－300kkk=2=x－800，(－)+

3、3×(－)=12，求得k=－9.故选PCx2x331B.(x－200)－2202x－640k==.例2某人在山坡P处观看对面山崖顶PBx2x上的一座铁塔，如图2所示，塔高BC=k－kPBPC又tan∠BPC=80(米)，塔所在的山高OB=220(米)，OA=1+k·kPBPC200(米)，图2中所示的山坡可视为直线l，且·7·高中数学教与学2010年1608ln2x3ln2－2ln39===<0知a

4、工具解决了问题.更可贵的是，这种想法=64(x>200).正与命题者的初衷不谋而合，把握住问题的160×640x+－288本质，更可以对原命题作一般性的推广.x例4已知函数f(x)=lnx，g(x)=x.要使tan∠BPC达到最大，只须x+x－1160×640(1)若x>1，求证:f(x)>2g();－288达到最小.由均值不等式得xx+1x12(2)是否存在实数k，使方程g(x)－160×6402+－288≥2槡160×640－288.当x2f(1+x)=k有4个不同的实根?若存在，求出160×640且仅当x=时，上式取得等号，故当k的取值范围;若不存在，说明

5、理由.xx－1x=320时，tan∠BPC最大.这时，点P的纵坐解(1)令F(x)=f(x)－2g()，x+1标y为y=320－200=60.由此实际问题知，2(x－1)2即F(x)=lnx－，x+1π12(x+1)－2(x－1)0<∠BPC<，所以tan∠BPC最大时，则F′(x)=－2xx+12∠BPC最大.(x－1)=.2故当此人距水平地面60米高时，观看铁x(x+1)塔的视角∠BPC最大.由x>1时F′(x)>0知F(x)在(1，+∞)上为增函数.又F(x)在x=1处连续，评注本题引入了平面直角坐标系及函得F(x)在［1，+∞)上为增函数，而x>1，得数

6、，使解题过程一气呵成.x－1二、引入函数F(x)>F(1)=0，故f(x)>2g().x+1函数是联系运动与静止，变化与定值的(2)原方程即为有力工具.解题时，若能恰到好处地引入函122x－ln(1+x)=k.①数，会对解题工作带来很大的帮助.22ln2ln3ln5令t=x，并变形得例3若a=，b=，c=，则2351t－k=ln(1+t).②()2(A)a

7、与曲线lnx1－lnx(x>0)，则f′(x)=2.11xx在点t=t0处相切时，由y2′=，得=1+t2当00，f(x)为增函1，于是t=1，得切点为(1，ln2)，这时切0数;当e

8、右边BC的中点，EF∩B