信号与系统第三章节

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1、信号与系统第三章第三章　傅里叶变换第一节　引言第二节　周期信号的傅里叶级数分析第三节　典型周期信号的傅里叶级数第四节　傅里叶变换第五节　典型信号的傅里叶变换第六节　傅里叶变换的基本性质－－信号的时频关系第七节　抽样及抽样定理3.1引言第二章介绍了连续LTI系统的时域分析。以冲激函数为基本函数，任意输入信号可分解为一系列冲激函数冲激函数的连续和（即积分）这一系列冲激函数叠加输入系统所产生的响应（即零状态响应），也就是　　作用于系统的零状态响应，是激励信号与系统冲激响应的卷积，即信号分解的基本函数也可取其他形式，

2、本章将以正弦函数（正弦和余弦可统称为正弦函数）或虚指数函数为基本函数。任意输入信号可表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期性信号）。基于线性系统满足叠加性这一原理具体来说：对于周期信号，可分解为傅里叶级数，其频率分布是　轴上的一些离散的点，因此，其频谱是离散谱；对于非周期信号，可看作是不同频率的各“分量”（可用正弦函数或虚指数函数表示）的连续和－－积分，它包含了频率从0到∞的一切频率“分量”，即其频率连续分布于　轴上，因此，其频谱是连续谱。本章从傅里叶级数展开讨论，引

3、出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过对典型信号频谱及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用，为下一章系统的频域分析打下基础。3.2周期信号的傅里叶级数分析P89周期信号定义在　　　　区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号。它可表示为式中，m为任意整数;T为该信号的重复周期，简称周期;f为该信号的频率，周期的倒数;为该信号的角频率。三角函数形式的傅里叶级数设　　是周期为　，角频率为　　　的周期函数，它可展开（或分解）为傅里叶级数式中，　为正整数，　、　、　为各次谐波分量的幅度值，按以下公式

4、计算：直流分量：余弦分量的幅度：正弦分量的幅度：且有注：并非任意周期信号均能进行傅里叶级数展开。被展开的周期函数需要满足狄利克雷（Dirichlet）充分条件：（1）函数如果有间断点存在，则在一周期内只能有有限个间断点；（2）在一周期内，函数只存在有限个极大值和极小值；（3）函数在一周期内是绝对可积的，即　　　　　为有限值（　为周期）。通常遇到的周期信号都满足以上条件，因此，除非有特殊需要，一般不再考虑这一充分条件。P90任何满足狄利克雷充分条件的周期函数都可分解为直流分量和许多余弦、正弦分量。这些余弦、正弦

5、分量的频率必定是基频的整数倍。通常把频率为　的分量称为基波，频率为　　　　等分量分别称为二次谐波、三次谐波…。信号中，直流分量的大小以及基波和各次谐波的幅度、相位均取决于周期信号的波形。各分量的幅度　、　、　及相位　都是频率　　的函数。把　与　　的关系画成线图，如图，可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小。这种图称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱。图中每条线代表某一个频率分量的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线（图中虚线）称为包络线，它反映了各分量的幅度变化情况。画出各分量的相位　与频率　　的线图，称为相位频

6、谱，简称为相位谱。幅度谱相位谱由图可见，周期信号的频谱只会出现在　　　　　等离散频率点上，故称其为离散谱线或线状谱，这是周期信号频谱的主要特点。指数形式的傅里叶级数因为将其中的正弦、余弦项用虚指数函数代入（欧拉公式）得在式中　出现了负值，即出现了负的频率，这是由于　　　　　　将　　　　和　　　　写成指数形式时，引入了　　　　　　　项。负频率的出现完全是数学运算带来的结果，并没有任　　　　　　　　何物理意义。信号的实际频率只能是正数，而不可能是负数。指数形式傅里叶级数的系数，简写作P92与其他系数的关系n的奇函

7、数n的偶函数n的奇函数P91指数形式的信号频谱如图所示。由于　一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。又由于　从　　　　，频率　　也从负无穷大变化到正无穷大，所以这种频谱为双边频谱。根据　　　　　，可以画出复数幅度谱及复数相位谱，如图。复数幅度谱复数相位谱偶函数奇函数因为　　是　（或频率　　）的偶函数，幅度谱相对于纵轴对称；而　是　（或频率　　）的奇函数，相位谱相对于原点对称。如果　为实数，则可以用　的正负表示　的，此时可将幅度谱和相位谱画在一张图上，如图。课后习题：P1603-2函数的对称性与傅里叶系数的关

8、系将已知函数　　展开为傅里叶级数时，如果　　为实函数且其波形满足某种对称性，则有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算较为简便。函数波形的对称性有两类，一类是关于整周期对称，例如偶函数和奇函数；另一类是关于半周期对称，例如奇谐函数和偶谐函数。前者决定级数中只含有余弦项或正弦项，后者决定级数中只含有奇次项或偶次项。偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数整周期对称半周期对称P94是偶函数当　　的波形关于纵轴