信号与系统教案第3章节

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1、《信号与系统》授课教师：吕晓丽第三章离散系统的时域分析第三章离散系统的时域分析3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、阶跃响应3.3卷积和一、卷积和二、卷积的图解三、卷积和的性质点击目录，进入相关章节第三章离散系统的时域分析3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。能否找出二者的关系？3.1LTI离散系统的响应

2、（3）差分的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+a1f(k-1)+…+amf(k-m)一、差分与差分方程连续时间系统用N阶常系数微分方程描述ai、bj为常数。离散时间系统用N阶常系数差分方程描述ai、bj为常数an=1一、差分与差分方程3.1LTI离散系统的响应迭代法(递推法)经典法卷积法零输入响应求解零状态响应求

3、解3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程已知n个初始状态{y(-1),y(-2),y(-3),∙∙∙∙,y(-n)}和输入，由差分方程迭代出系统的输出。1、迭代法求解差分方程3.1LTI离散系统的响应[例]一阶线性常系数差分方程y(k)-0.5y(k-1)=ε(k),y(-1)=1，用迭代法求解差分方程。解：将差分方程写成代入初始状态，可求得缺点：很难得到闭合形式的解。3.1LTI离散系统的响应差分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(k)和特解yp(k)组成:齐次解yh(k)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(k)的形式由方程右边激励信号的形式确定2、经典法求解差分方程3.1L

4、TI离散系统的响应(1)特征根是不等实根λ1,λ2,,λn(2)特征根是等实根λ1=λ2==λn(3)特征根是成对共轭复根齐次解的形式2、经典法求解差分方程3.1LTI离散系统的响应常用激励信号对应的特解形式ak(a不是特征根)ak(a是特征根)2、经典法求解差分方程3.1LTI离散系统的响应[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k)初始条件y(0)=0，y(1)=-1，输入信号f(k)=2kε(k)，求系统的完全响应y(k)。特征根为齐次解yh(k)解：(1)求齐次方程y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=0的齐次解yh(k)

5、特征方程为3.1LTI离散系统的响应解：(2)求非齐次方程y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k)的特解yp(k)由输入f(k)的形式，设方程的特解为将特解带入原差分方程即可求得常数P=-2。[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k)初始条件y(0)=0，y(1)=-1，输入信号f(k)=2kε(k)，求系统的完全响应y(k)。3.1LTI离散系统的响应解：(3)求方程的全解，即系统的完全响应y(k)解得C1=-3，C2=3[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k)初始条

6、件y(0)=0，y(1)=-1，输入信号f(k)=2kε(k)，求系统的完全响应y(k)。3.1LTI离散系统的响应讨论1)若初始条件不变，输入信号f(k)=sin0kε(k)，则系统的完全响应y(k)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=1,y(1)=1,则系统的完全响应y(k)=？3.1LTI离散系统的响应若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。经典法不足之处3.1LTI离散系统的响应系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零

7、，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始状态确定待定系数。3、卷积法求解差分方程3.1LTI离散系统的响应系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解系统的零状态响应yzs(k)方法：1)直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(k)产生的响应称为系统的零