用反证法证明等式和不等式

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1、高等数学研究Vol.10，No.5STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSSeP2(X]7用反证法证明等式和不等式‘李莉(深圳大学数学与计算科学学院广东深圳518060)摘要许多用中值定理或泰勒公式证明的等式或不等式也可以直接用反证法证明，一般的教科书上很少提及这点，这里加以介绍关键词中值定理;泰勒公式;反证法中图分类号0172注意我们常常要利用下列定理达布定理若函数八x)在区间【a，习上有有穷的导数，且设了‘(a)

2、数，且f(l)二f(2)二0，又F(x)二(x一l)zf(x)，证明在(1，2)内至少存在一点若，使尸(妇=0.证明用反证法.假设对一切x二(1，2)恒有F’’(幻笋0，则对一切xE(1，2)，F’’(x)>0或F即(x)<0.注意到不可能存在这样的情况:3二1，x:。(1，2)，使得F’’(:，)F’’(x:)<0.否则，由达布定理在xl，x:之间存在一点x:，使得尸(x3)=0，这与假设矛盾.因此，对一切:。(1，2)，F’’(x)保持定号.不失一般性，不妨设F’’(x)>0即F’(x)在(1，2)内严格单调递增.由于F’(x)在〔1，2〕上连续，事实上F‘(x)在[

3、1，2]上也是严格单调递增的，因此，对一切x。(1，2)，F，(1)0.同理F(:)在〔1，2〕上也是严格单调递增函数，故对一切xE(1，2)有F(1)<尸(:)

4、)是有穷区间，用反证法假设对一切xE(a，b)有f‘(x)尹0，则f’(x)>0或由f‘(x)<0.注意到不可能存在这样的情况:日x;，xZ。(a，b)，使得f‘(::)f‘(xZ)<0，如若不然，不达布定理日x3E(a，b)，f’(二3)=0.这与假设矛盾.所以对一切x二(a，b)，f’(x)保持定号，b一a妨设f’(x)>0，即f(x)在(。，b)内是严格单调递增函数因此，对Ve:0<8<二厂，a<。+￡a+ba+36a+3b<--二丁--<—)

5、f(“+“)b一a收稿日期:21洲拓一11一03万方数据第10卷第5期李莉:用反证法证明等式和不等式证明用反证法.假设对一切x二(a，b)，If’(x)i感不妨设f(乙))f(a)，即若对一切x。(a，b)，有-，应且二卫且钉，(二)‘嗯一abb]a，作辅助函数F(x)=f(x)_岌且，尸

6、(x)在[上连续，在(a，b)可导，且F’(x)二bf’(x)-感0，即F(x)在(a，b)上单调递减，故对任意e>0:a

7、若e1f(b)一f(a)}(a，b)，使得If’(若)夕}叫‘J如，‘‘一-~‘‘J，，，名‘1。b一a例4设八x)在【0，1]上存在二阶导数，且八0)=f(l)=0，摆昌几x=一1，证明日若。(0，1)，使得f，’(约)8.证明用反证法.假设对一切xE(0，1)恒有f”(x)<8，由f(0)=f(l)二0，Inlnf(x)二一0‘万握11，知，最小值点。二(0，1)，f(。)二一1，f’(c)=0.把区间[0，1]分成两部分[0，c]u(c，1」，考虑2区间(。，1]，作辅助函数C(x)=8(合一cx)一f(x)，“