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1、信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。信号的时域和频域之间具有紧密的联系。信号时频分析的主要方法：Waves傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数.窗口傅立叶变换（Gabor变换）：窗口傅立叶变换的定义：假设f(t)L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：窗口傅立叶变换的物理意义：若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(,b)给出的是f(t)在局部时间范围[b-Dt/2,b+Dt/2]内的频谱信息。有效窗口宽度Dt越小，对
2、信号的时间定位能力越强。连续小波变换：连续小波变换的定义：假设信号f(t)L2(R)，则它的连续小波变换定义为：尺度伸缩参数时间平移参数归一化因子连续小波变换的逆变换互为对偶关系尺度和时移参数的离散化：离散化后的小波变换：怎样选择小波函数才能够重构信号：小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。尺度和时移参数的离散化：重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）：对任意
3、的f(t)L2(R)，称{j,k}为一个框架，如果存在正参数A和B（0AB<），使得：分析小波合成小波标准正交小波基：标准正交小波基的优点：变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。标准正交小波基与它的对偶相同。计算简单：多分辨分析空间一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波Mallat算法一维双正交多分辨分析一维正交多分辨分析常用多分辨分析（MultiresolutionAnalysis,MRA）构造正交小波基MRA(非正交)尺度函数正交尺度函数低通滤波器高通滤波器小波函数Malla
4、t算法正交化两尺度方程小波方程MRA令中的一个函数子空间序列。若下列条件成立：，1)单调性：，2)逼近性：，3)伸缩性：4)平移不变性：5)Riesz基存在性：存在函数使，构成的一个Riesz基（不一定是正交的）。称为尺度函数。多分辨分析。MRA（续）两个重要的完备的内积空间线性空间:集合+代数运算（加法与数乘）内积空间:线性空间+内积运算完备的内积空间:内积空间+对limit运算封闭泛函分析基础Banach空间Hilbert空间空间的基底广义函数线性算子代数集上的运算(集X上)内部运算是X×X→X的
5、一个映射外部运算是A×X→X的一个映射(A是另一集)距离空间矩离空间是一个集合X连同一个满足下述条件的一个映射d:X×X→R(1)正性d(x,y)≥0,且d(x,y)＝0如且仅如x＝y(2)对称性d(x,y)＝d(y,x)(3)三角不等式d(x,z)≤d(x,y)＋d(y,z)同一个集合,可以引入不同的距离距离空间中相关概念Cauchy序列在距离空间X中,对于的序列,如果则称序列是Cauchy序列极限点Cauchy序列的极限点稠密A是X的子集,如A的闭包是X,称A在X稠密空间可分如果空间X有一个稠密子
6、集距离空间中相关概念(续)空间完备一个空间X称为是完备的,如果在这个空间中的每个Cauchy序列都收敛于X中的点。线性无关线性空间X一个子集A称为是线性无关的,如果A的每个非空子集关系推出对所有成立。线性赋范空间线性赋范空间设X是数域K上的线性空间,如果对于每个元素x∈X,相应一个实数‖x‖,对于x,y∈X,a∈K,有:(1)‖x‖＝0,如且仅如x＝0(2)‖ax‖＝｜a｜‖x‖(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖则称‖x‖是x的范数,又称线性空间X按范数构成线性赋范空间。线性赋范空间相关问题由范数导出距
7、离在线性赋范空间中，能由范数导出距离d(x.y)＝‖x－y‖这时线性赋范空间也是距离空间。按范数收敛线性赋范空间X中的序列收敛是指即按范数‖·‖收敛。距离空间不必是赋范空间距离可不由范数引入。Banach空间Banach空间一个完备的线性赋范空间称为Banach空间。例1空间(1≤p＜∞)是满足的实(复)数序列a＝的集合，范数定义为例2空间(1≤p＜∞)是R上满足下述条件的可测函数类范数为空间的重要不等式Minkovski不等式是Holder不等式对于p≥1,q≥1,是Cauchy－Schwarz不等
8、式(p=q=2特殊情形)是卷积卷积(函数卷积)两个函数f,g的卷积定义为性质1如果f,g,那么f(x-y)g(y)对于所有xR,关于y是可积的。进而,可积,且,还有下述不等式成立性质2如果f是可积函数,g是有界的局部可积函数,则卷积是连续函数。卷积性质(续)性质3如果f,g,h,那么下列性质成立:(1)(可交换)(2)(可结合)(3)(可分配)内积内积设X为K(实或复)上的线性空间。在X上定义了内积是指，对于X中每一对元素f，g，都对应一个确定的复数，记
