信号的时频分析：

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1、小波分析发展历史1807年Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文1910年Haar提出最简单的小波1980年Morlet首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。1988年Mallat提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处

2、理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如：小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。“小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋

3、律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。时间A时间B参考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11小波的3个

4、特点小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：小波基表示发生的时间和频率“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基信号的时频分析：信号时

5、频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。信号的时域和频域之间具有紧密的联系。信号时频分析的主要方法：反映傅立叶变换缺点的一个例子：傅立叶变换的缺点：用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。解决傅立叶变换缺点的方法：窗口傅立叶变换（Gabor变换）：窗口傅立叶变换的定义：假设f(t)L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：窗口傅立叶变换的物理意义：若g(t)的有

6、效窗口宽度为Dt，则WFg(,b)给出的是f(t)在局部时间范围[b-Dt/2,b+Dt/2]内的频谱信息。有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强。窗口傅立叶变换的频域性质：问题的提出：窗口傅立叶变换WFg(,b)=给出的是信号在时域上的处理信息，一个很自然的问题是窗口傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的？假设f(t)的傅立叶变换为F()，g,b(t)的傅立叶变换为G,b()，则根据Parseval定理有：WFg(,b)=/(2)窗口傅立

7、叶变换频域上的物理意义：若G()的有效窗口宽度为D，则WFg(,b)给出的是F()在局部频率范围[-D/2,+D/2]内的频谱信息。有效窗口宽度D越小，对信号的频率定位能力越强。窗口傅立叶变换的性能分析：问题的提出：窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力，又具有强的频率定位能力？选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有好的性能？解决问题的思想：从物理意义上来看Dt和D是矛盾的，因此先定义Dt和D后，再计算Dt和D的乘积用以作为判断窗口傅立叶变换性能的依据。窗口傅立叶变换的性能分析：具体

8、分析过程：假设：定义：窗口傅立叶变换的性能分析：计算Dt2×D2：海森堡测不准原理窗口傅立叶变换的性能分析：等号成立条件：结论：窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种分辨率的提高。以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好。解决窗口傅立叶变换缺点的方法：问题的提出：窗口傅立叶变换窗口没有自适应性，只适合分析所