波函数和电子云的空间图象

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1、１.原子轨道角度分布图“★★”　　波函数的角向部分Yl,m（θ，ϕ，又称原子轨道的角向部分，若以原子核为坐标原点，引出方向为（θ，ϕ）的直线，连结所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面。这样的图形称为Y的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图。　　作图前，必需首先要知道原子轨道角向部分Yl,m（θ，ϕ）的计算式。它由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得。表５－３列出氢原子若干径向部分和角向部分，供参考。例如　氢原子　　　　[例5－1]画出氢原子1s原子轨道角度分布图Y。　　解：由解薛定谔方程可知从上式可知，Y

2、1s只是一个常数，与θ，角度无关。画出的氢原子1s原子轨道角度分布图是一个球曲面。半径为（1/4π）1/2。　　由于原子轨道的角向部分Yl,m（θ，ϕ）只与量子数l，m有关，而与主量子数n无关。因此，1s，2s，3s原子轨道的角度分布图都是相同的球曲面。p，d，f系列原子轨道同样如此。故在原子轨道角度分布图中，常不标明轨道符号前的主量子数。　　[例5－2]画出2pz原子轨道角度分布图。　　解：由解薛定谔方程可知　　　　　　　　　　　　　Y2pz=(3/4π)1/2cosθ（与无关）　　　　　或　　　　　　　Yp

3、z=K·cosθ　　式中K为常数，对于Y2pz，K值为（3/4π）1/2，对于其它p轨道K值可能不同，但它不会影响图形的形状。　　一些随θ角度而变化的Ypz和Y2pz值见表５－４。　　利用表中列出的数据，可以在xz平面内画出如图５－１１所示的曲线。将曲线绕Z轴旋转一周（360°），可以得到“哑铃型”的立体曲面。由于Yp值在Z轴方向（θ=0°）出现了极大值，所以该曲面图我们称为p原子轨道角度分布图，记为Ypz，通常以其剖面图表示。　　用以上类似的方法，我们可以画出s，p，d各种轨道的角度分布剖面图，如图５－１２所

4、示。　　２.电子云角度分布图“★★”　　如果我们将简化的薛定谔方程两边平方，则得到　　　　　　　ψ2n,l,m（r，θ，ϕ）=R2n,l（r）·Y2l,m（θ，ϕ）　　　　　　　　　电子云　　　径向部分　　　角向部分　　上式中，ψ2n,l,m（r，θ，ϕ）的图像即为电子云的图象，它由二部分组成。一是电子云的径向部分R2n,l（r），即几率密度随离核半径的变化，它与θ，ϕ角度无关；二是电子云的角向部分Y2l,m（θ，ϕ），即几率密度只随角度θ，ϕ变化，它与主量子数n，离核半径r无关。　　电子云角度分布图的画法过程

5、与原子轨道角度分布图一样，只需先将该原子轨道的角向分布·Yl,m（θ，ϕ）的计算式两边平方。　　例　pz原子轨道的角向部分是Ypz=K·cosθ　　　　pz电子云的角向部分是Y2pz=K2·cos2θ　　若将Y2pz值（表５-３）随θ角度变化作图，得到的图形称为电子云的角度分布图，记为　　Y2p。用相同的方法，可以画出s、p、d各种电子云的角度分布图，如图５－１３所示:它表示随θ和ϕ角度变化时，半径相同的各点，几率密度大小相同。原子轨道角度分布图与电子云角度分布图的区别见表５－５。应要注意，把原子轨道角度分布图

6、和电子云角度分布图当作原子轨道和电子云的实际图象是错误的，因为它们只考虑了波函数ψ（原子轨道）和ψ2（电子云）的角向部分，而没有考虑相应的径向部分，下面我们就来讨论有关的径向部分。我们已知道，原子轨道和电子云的径向部分分别为Rn,l（r）和R2n,l（r），反映R（几率）和R2（几率密度）在任意角度（与θ，ϕ角度无关）随离核距离半径r变化的情形。　　1.原子轨道（ψ）径向部分　　若以R（r）对r作图。就能得到电子出现的几率随r的变化图，我们称为原子轨道径向分布图。如图５-１４所示。R（r）随r变化时，因主量子数

7、n不同，可以是负值。如2s轨道的R（r）随r增大时，正值逐渐变小，经过R（r）为零的节点（节面，电子出现的几率为0）后变为负值，后又逐渐增大。原子轨道径向分布图在教学中不常使用。　　2．电子云的径向部分　　电子云的径向部分可有多种图示表示，比较重要的是几率密度径向分布图和壳层几率径向分布图。　　（1）几率密度径向分布图　　若以R2（r）对r作图，就能得到电子的几率密度随半径r的变化图，我们称为几率密度径向分布图。图５-１５列出了常用的几种氢原子电子云的R2（r）图，它表示任何角度方向上的几率密度随半径r的变化，

8、若再考虑电子云的的角向部分Y2l,m(θ，ϕ)，两者结合起来，即为电子云的空间形状。　　（2）壳层几率径向分布图“★★”　　前已叙述，壳层几率是指离核半径为r，厚度为dr的薄层球壳中电子出现的几率，用符号r2R2表示，理论上可以导出，现以最简单的球形对称的ns电子云为例。　　设想把ns电子云通过中心分割成具有不同半径r的薄层球壳（同心圆），如果我们考虑一个离核距离为r，厚度为dr的薄层