《经济数学基础》PPT课件

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1、第九章二重积分第六章学习的定积分是一元函数y=ƒ(x)在闭区间[a,b]上的积分；下面我们来学习二元函数在有界闭区域D上的积分，即二重积分.本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念，推导它的计算公式，研究它的计算方法.在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体(截面面积已知的立体和旋转体)体积的计算方法;但对于一般立体的体积问题却仍不会处理.1第九章二重积分f(x,y)dxdy?D§9.1二重积分的概念§9.2在直角坐标系下二重积分的计算§9.3二重积分的换元法§9.4在极坐标系下二重积分的计算§9.5无界区域上的二重积分2定义1设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成；其中底是xy

2、平面上的一个有界闭区域D,侧面是以D的边界曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面,顶是一曲面，其方程为z=ƒ(x,y)(x,y)∈D,连续且ƒ(x,y)≥0.则称此立体为曲顶柱体.zz=ƒ(x,y)分析：因平顶柱体体积为“底面积×高”但对于曲顶柱体因其高ƒ(x,y)是yO个变量，其体积就不能用D(x,y)“底面积×高”xC来定义和计算了；3但由ƒ(x,y)的连续性知：zz=ƒ(x,y)从整个定义域来看“高是变化的”；但从某点的某个充分小邻域局部范y围内来看∆z→0，即高可“看成”OD不变；xC(x,y)此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶柱体之体积；故整个曲顶柱体之体积就近似于全

3、部小平顶柱体的体积之和.4下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来求曲顶柱体体积：1.分割用一组曲线网任意地将区域D分成n个小区域(如图),,12n并以表示第i个小区域的面积；iyiOx5z再以各小区域的边界为准线，作母线平行于z轴的曲顶柱体；yO相应地把原曲顶柱体分割成Dxn个小曲顶柱体;i设所求体积为V,并设第i个小曲顶柱体体积为Vi,n则VVii162.以平代曲，近似代替(,,f(,))~iiii在每个小区域(i1,2,,n)i内任取一点(i,i),并以f(i,i)为高,yO为底作平顶柱体,其体积为iDf(i

4、,i)ixi(,)iiVf(,)(i1,2,,n)iiiinVf(i,i)ii173.求和取极限令d表示内任意两点间距离的最大值iiyi(称为该区域的直径),又令dmaxdi,Ox1in若当d→0时(此时必有n→∞,但n→∞不能保证有d→0),n有Vlimf(i,i)i存在，d0i1则定义此极限为曲顶柱体之体积.注1这种和式的极限的应用极广；各个领域中的不少问题通常都要化为这种和式的极限；我们常把这种和二重积分.式的极限称为8§9.1二重积分的概念一.二重积分的概念定义2设ƒ(x,y)是有界闭区域

5、上的有界函数，将D任意分割成n个小区域,,,在各小区域内任12nin取一点(i,i),作和式f(i,i)i,当各小区域中的i1最大直径dmaxdi0时,若极限1innlimf(i,i)id0i1存在，且与区域的分割及点(i,i)取法无关，则称此极限值为二元函数ƒ(x,y)在区域D上的二重积分，记作9nf(x,y)dlimf(i,i)i.d0Di1其中ƒ(x,y)为被积函数,D为积分区域，dσ为面积元素，ƒ(x,y)dσ为被积表达式.注2若函数ƒ(x,y)在区域D上的二重积分存在，此时又称ƒ(x

6、,y)在区域D上可积.定理1若ƒ(x,y)在有界闭区域D上连续，则ƒ(x,y)在D上一定可积.注3由定义2知：若ƒ(x,y)在D上可积，则其和式极限的存在性与区域D的分法无关，即与小区域i的形状无关.10故在直角坐标系下，我们常采用平行于坐标轴的直线来划分D(如图).此时的小区域i的形状为小矩形,yy其边长分别为xi和i,iy则小区域的面积为iixyOxiiixi在上述分法下,类似一元函数微分取极限后,面积元素为dσ=dxdy故在直角坐标系下，二重积分可写为f(x,y)df(x,y)dxdyDD11注4二重积分的几何意义：当函数z=ƒ(

7、x,y)在区域D上连续且ƒ(x,y)≥0时,二重积分f(x,y)d表示以曲面z=ƒ(x,y)为顶，以区域D为底的D曲顶柱体之体积.特别地,当ƒ(x,y)=1时,二重积分1ddDD表平面区域D的面积.即高度为1的平顶柱体之体积等于此柱体的底面积；但它们的量纲不一样.12二.二重积分的性质二重积分与定积分具有相应的性质,其证明方法与定积分基本相同;现分述如下而不证明:(以下总假定涉及的函数在D上是可积的)性质1常数因子可提到积分号外，