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1、§5.1矩阵当线性方程组中未知数个数与方程个数不相同时,矩阵方法便是研究其解的有力工具.5.1.1矩阵的概念5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的逆5.1.1矩阵的概念例1在物资调运中,某类物资有三个产地、四个销地,它的调运情况如表5.1.1所示.5.1.1调运方案表如果我们用一个三行四列的数表表示该调运方案,可以简记为例2北京市某户居民第三季度每个月水(单位:)、电(单位:)、天然气(单位:)的使用情况,可以用一个三行三列的数表表示为例3含有n个未知量、m个方程的线性方程组如果把它的系数和常数项按原来的顺序写出,就可以得到一个m行、n+1列的数表上面三个例子中的这些数表统称为矩阵
2、.矩阵可用来记录有一定位置特点的数据库.定义设有m×n个数,把它们排成一个具有m行、n列的矩形阵列，并以圆括弧(或方括弧)括之:,(1)称为m×n(阶)矩阵,用表示第i行第j列的元(素),矩阵通常用大写字母A,B,C,…来表示.矩阵(1)有时简记作几种特殊的矩阵行矩阵：列矩阵：n阶矩阵(方阵):从左(右)上角到右(左)下角的对角线称为主(次)对角线在n阶矩阵中，主(次)对角线上的元素称为主(次)对角元，分别是：与零矩阵或O：所有元素全为零的m×n矩阵如分别为2阶零矩阵和3×5阶零矩阵.负矩阵：如：n阶单位矩阵：或I如：转置矩阵：或如：行阶梯形矩阵:(1)若矩阵有零行(元素全部为零
3、的行),则零行全部在下方;(2)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随着行标的递增而严格增大.例如:判断下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些不是。矩阵相等：设有两个同阶的矩阵A和B,仅当它们位于同一行列位置上的元都相等时,才称矩阵A和B相等,记为A=B;。否则矩阵A与B不相等,记为5.1.2矩阵的运算1.矩阵加减法设矩阵A与B都是m×n矩阵,我们定义为矩阵A与B的和及差例如注：只有同型矩阵才可以相加减.例4某百货公司1月份卖出500台彩电、450台DVD、250台功放,2月份卖出706台彩电、521台DVD、270台功放,3月份卖出170台彩电、150台DVD、105台
4、功放.试用矩阵表示每个月上述三种商品的售货情况以及一季度总的售货情况.解每个月的售货情况分别为一季度总的售货情况为矩阵加法性质：ⅰ交换律ⅱ结合律ⅳ存在矩阵-A满足ⅲ2.数乘矩阵设k为实数,为m×n阶矩阵,我们用kA表示k与A的乘积,定义为（k乘以A中的每个元素)例5某大学数学系有湖北籍学生80位,湖南籍学生60位,江西籍学生35位；经济系有湖北籍,湖南籍,江西籍学生正好是数学系的两倍,试用矩阵表示此此情况.解经济系:数学系:数与矩阵之积满足下列性质:设c、k为实数,A、B为矩阵,则有ⅰ结合律ⅱ分配律ⅲ数1与A矩阵相乘满足例6例73.矩阵的乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品
5、牌的家用电器,如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量(单位:台)，用B表示两种家用电器的单位售价(单位:千元)和单位利润(单位:千元):用矩阵表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润,那么C中的元素分别为即矩阵A第i行元素与矩阵B第j列对应元素的乘积之和.即：矩阵C中的第i行第j列的元素是是一个m×n矩阵,其中定义:设是m×q矩阵,是q×n矩阵,即A的列数等于B的行数,我们用AB表示A与B的乘积,解例8设求AB及BA.:ⅳ数乘结合律,即矩阵的乘法运算具有如下性质ⅰ一般不满足交换律,即ⅱ满足结合律,即ⅲ满足分配律,即其中k是一个常数.矩阵乘法不满足消去律。
6、例9设（1）证明AB=O（2）证明AB=AC证（1）（2）记为4.矩阵的初等行变换对换变换：(1)对换矩阵两行的位置,记为倍乘变换：(2)用一个非零数遍乘矩阵的某一行,记为倍加变换：(3)将矩阵某一行的倍数加到另一行上,形矩阵.矩阵A经过初等行变换后变为B,用A→B表示,并称矩阵B与A是等价的.矩阵的初等行变换可以把任意一个矩阵A化成一个行阶梯形矩阵B,此时称B为矩阵A的一个阶梯解例10求矩阵的阶梯形矩阵.5.1.3矩阵的逆如何求上式中的B？是否存在一个矩阵B,使得AB=BA=I?矩阵A满足什么条件时,上式成立？r(A)=2,r(B)=31.矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵的非零行的行
7、数称为矩阵的秩,记作r(A)或秩(A).规定:零矩阵O的秩为零,即r(O)=0例如:阶梯形矩阵因为A的非零行有二行,而B的非零行有三行,所以A的秩等于2,B的秩等于3,即所以例11设矩阵求解因为因为所以所以它们都是满秩矩阵.设A是n阶矩阵,若r(A)=n,则称A满秩矩阵,或称A为非奇异的.例如,矩阵因为A是三阶矩阵,In是n阶矩阵,且r(A)=3,r(In)=n解:(1)因为例12判断下列矩阵是否为满秩矩阵.即r(A)=3所以三阶矩阵A是满秩矩阵.(2)因为即r(B)=3所以四阶
