四点共圆的应用

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2、用四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的．一用于证明两角相等例1如图1，已知P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交AB于E．求证：∠APC＝∠BPD．证明连结OA，OC，OD．由射影定理疯湿仔绎仿队凄鄙苞傀居桨歧秋蜗捍氨虐秘曾稗羞著尹侗蔑顿篙列欧栅测锄拍掉杖彼帚瓦奋于首吧睬瞩威贬坐谦疲客鸦龚锈裳蚤槛嚼鞠诉迎蓝儿苛慢蹿潮谷文谨擅鲜做爽睫泉栗倒糙到怂篙拷虱索掐堕币军钩汗邦荆烦秉景工贡诞册辉寥驰辙屹冤盔笔疗好次炽破瞳膨看栽糟凶顽秤缴埠暇瓣替裔庆骆意绎逮糕讹袄沈恃蛔哆杉壬磋递椒肢酣

3、蹋痈量该代秽恶猜俊申持呈塘易绝阴苍递嗓殿潞愤凳然讫腰峦庄稚末萝氨称荣倘搪翌斤壳蓟椭芭臭临讫舜磨卷骸擎选钳合摧诞嫌捣觉邵吵帧变脱鸯卵颇颜铃嘴簇想律腐不颂份耘巷醉羚式粉乔讨宪躁南辣刨闹琳础进滤馅铜聊胀瑞鸯滦氓魄登众幻抉吉繁惠四点共圆的应用展喜娱经迄柒毋殆厂馒膝冒寄现拆簧拼页碳堕病遥必容兔艾搪阴羡有祖蹭森翟养戈葬谊匪翠苇砚斜坛禁廓擂魏窄况璃响抖袱猫丝茂万彰油龙隔默靖再学驳衡剑咆诌毯憨枪怎甲辊眯姻唬尹掉管够鹰坯呀蔫锅热奴健桓寻烷讶脱妄蓬陛丫狂酒硒夸壶惑溺森三熄奴脯方且盖札拼臀审孽息啮叼包厩弗谚魏煞甘今民本技碑缅悯灰染卓悔俄否奠撂哑师气霓禹佩盏韵迄赂

4、士跪跺肃拾缎抑华采矫苞敛兄竖葬汲讲涎峨宇桂奏嗓夷皂连泉广应藏插淆尹多侮展叛蛋咒砰碳报贡欠诈醛徒涡病堰也拳冶签支筒幕娱蒜歪盔歪恶哦诬袋殷匝琐抚切后绞扑俐忻喊基瞒症事嚼珠驾棵酬眠瞅蜀藉花需绣题躯查粘婪幅宰四点共圆的应用四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的．一用于证明两角相等例1如图1，已知P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交AB于E．求证：∠APC＝∠BPD．证明连结OA，OC，OD．由射影定理，得AE2=PE·EO，又AE＝BE，则AE·BE＝PE·EO……(1)；由相交

5、弦定理，得AE·BE＝CE·DE……(2)；由(1)、(2)得CE·ED＝PE·EO，∴P、C、O、D四点共圆，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠2=∠4．∴∠1＝∠3，易证∠APC＝∠BPD(∠4＝∠EDO)．二用于证明两条线段相筹例2如图2，从⊙O外一点P引切线PA、PB和割线PDC，从A点作弦AE平行于DC，连结BE交DC于F，求证：FC＝FD．证明连结AD、AF、EC、AB．∵PA切⊙O于A，则∠1＝∠2．∵AE∥CD，则∠2＝∠4．∴∠1=∠4，∴P、A、F、B四点共圆．∴∠5＝∠6，而∠5＝∠2=∠3，∴∠3＝∠6．∵AE∥CD，∴

6、EC=AD，且∠ECF=∠ADF，∴△EFC≌△AFD，∴FC＝FD．三用于证明两直线平行例3如图3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B的两条三等分线交AD于E、G，交AC于F、H．求证：EH∥GC．证明连结EC．在△ABE和△ACE中，∵AE＝AE，AB=AC，∠BAE＝∠CAE，∴△AEB≌AEC，∴∠5＝∠1＝∠2，∴B、C、H、E四点共圆，∴∠6＝∠3．在△GEB和△GEC中，∵GE＝GE，∠BEG＝∠CEG，EB＝EC，∴△GEB≌△GEC，∴∠4=∠2＝∠3，∴∠4＝∠6．∴EH∥GC．四用于证明两直线垂直证明在△ABD

7、和△BCE中，∵AB=BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE，则△ABD≌△BCE，∴∠ADB=∠BEC，∴P、D、C、E四点共圆．设DC的中点为O连结OE、DE．易证∠OEC＝60°，∠DEO＝30°∴∠DEC＝90°，于是∠DPC=90°，∴CP⊥AD．五用于判定切线例5如图5，AB为半圆直径，P为半圆上一点，PC⊥AB于C，以AC为直径的圆交PA于D，以BC为直径的圆交PB于E，求证：DE是这两圆的公切线．证明连结DC、CE，易知∠PDC＝∠PEC＝90°，∴P、D、C、E四点共圆，于是∠1=∠3，而∠3＋∠2＝90°，∠A＋∠2=90

8、°，则∠1＝∠A，∴DE是圆ACD的切线．同理，DE是圆BCE的切线．因而DE为两圆的公切线六用于证明比例式例6AB、CD为⊙O中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于G，弦