命题及其关系、充分条件与必要条件练习

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1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件A级　课时对点练(时间：40分钟　满分：60分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0解析：若p则q的逆否命题为若綈q则綈p，又a＝b＝0实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.答案：D2．(20

2、10·上海卷)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x＝2kπ＋⇒tanx＝tan(2kπ＋)＝tan＝1，而tanx＝1⇒x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝2n＋1时⇒/x＝2kπ＋.答案：A3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)A．3B．2C．1D．0解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．

3、原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然此命题为假．又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假．故选C.答案：C4．(2009·浙江)已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于“a＞0且b＞0”，可以推出“a＋b＞0且ab＞0”，反之也是成立的．答案：C5．ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是(　　)A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D

4、．0＜a≤1或a＜0解析：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案：C二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为________．答案：若a≤b，则有2a≤2b－17．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．其中真命题的个数为________．解析：(1)真，(2

5、)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．答案：18．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的______条件(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”)．解析：当ω＝2⇒函数y＝sin(2x＋φ)的最小正周期为π，但函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，则ω＝±2，故应填充分非必要条件．答案：充分非必要三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f

6、(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0为真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0为真命题．

7、因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．∵a＋b≥0,∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真．10．已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1和点A(3,0)，B(0,3)，求证抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤.证明：①必要性：由已知得，线段AB的方程为y＝－x＋3(0≤x≤3)由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，所以方程组(*)有两个不同的实数解，消元

8、得：x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)．设f(x)＝x2－(m＋1)x＋4则有解之得3＜m≤.②充分性：当3＜m≤时，x1＝＞＞0，x2＝≤＝3.∴方程x2－(m＋1)x＋4＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2≤3，方程组(*)有两组不同的实数解．因此，抛物线y＝－x2＋mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤.B级　素能提升练(时间：30分