椭圆问题中最值得关注的几类基本题型

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1、第33练　椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一　利用椭圆的几何性质解题例1　如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．破题切入点　本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围．解　设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.所求椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，

2、－y0)，∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.当x0＝2时，·取得最小值0，当x0＝－2时，·取得最大值4.题型二　直线与椭圆相交问题例2　已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦

3、MN

4、的长．破题切入点　根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出．解　由得11x2－18x－9＝0.由根与系数的关系，得xM＋xN＝，xM·xN＝－.由弦长公式

5、MN

6、＝

7、xM－xN

8、＝·＝＝.题型三　点差法解题，设而不求思想例3　已知椭圆＋y2＝1，求斜率

9、为2的平行弦的中点轨迹方程．破题切入点　设出弦的两端点，利用点差法求解．解　设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为R(x，y)，则x＋2y＝2，x＋2y＝2，两式相减并整理可得，＝－＝－，①将＝2代入式①，得所求的轨迹方程为x＋4y＝0(－

10、．即顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．总结提高　(1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值．(2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”．(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解．(4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的

11、方法．1．“2

12、PA

13、＝

14、PN

15、.又AM是圆的半径，所以

16、PM

17、＋

18、

19、PN

20、＝

21、PM

22、＋

23、PA

24、＝

25、AM

26、＝6>

27、MN

28、，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．3．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且

29、PF1

30、，

31、F1F2

32、，

33、PF2

34、成等差数列，则椭圆方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　A解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又

35、PF1

36、，

37、F1F2

38、，

39、PF2

40、成等差数列，则

41、PF1

42、＋

43、PF2

44、＝2

45、F1F2

46、，即2a＝2·2c，＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.4．(201

47、4·大纲全国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　A解析　由e＝，得＝.①又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.5．(2014·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)A．5B.＋C．7＋D．6答案　D解析　如图所示，设

48、以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，故选D.6．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2