辅助角公式在解物理极值问题中的应用

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1、辅助角公式在解物理极值问题中的应用辅助角公式　　对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=Sqrt(a^2+b^2)(acosx/Sqrt(a^2+b^2)+bsinx/Sqrt(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/Sqrt(a^2+b^2),cosφ=b/Sqrt(a^2+b^2)　　∴acosx＋bsinx＝Sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))　　这就是辅助角公式．　　设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M)(tanM=b/a)　　以

2、下是证明过程：　　设asinA+bcosA=xsin(A+M)　　∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)　　由题，（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x　　∴x=√(a^2+b^2)　　∴asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M),tanM=sinM/cosM=b/a辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ)，其中tanφ=b/a，其终边过点（a,b），asinα+bcosα=cos(a-φ)，其中tanφ=a/b，其终边过点（b,a）例4．一物体质量为m，置于倾角为α的斜面上

3、，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。解析：设拉力与斜面的夹角为θ，物体的受力分析，如图5所示。mgαFNF图5θf由物体的平衡条件可得：Fcosθ—f=0①FN—mgcosθ=0②又因f=μFN③由①②③式得：即：由数学知识，上式中分子值一定，当分母cosθ+μsinθ最大时，分数值F最小。由辅助角公式，cosθ+μsinθ=sin（θ+β），其中tanβ=1/μ，当sin（θ+β）=1时，cosθ+μsinθ最大，此时θ+β=90°，cosθ+μsinθ的最大值是，（即cosθ+μsinθ满足）≤)拉力的最小值：NFfmg

4、θ图3例题4、物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？该题的已知量只有µ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，即……①……②…………③由联立①②③解得：,其中,∴ΦFF'ΦΦGFFF''F'''图4说明1：的最大值为。说明2：对于例题4，我们也可用矢量知识求解：将摩擦力f和地面对木块的弹力N合

5、成一个力F'，如图，F’与竖直方向的夹角为（为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如右图所示。只用当F与F’垂直时，即拉力与水平方向成角时，拉力F最小为，而，故在倾角为θ的斜面上,水平放置一段通有电流强度为I,长为L,质量为m的导体棒a,(通电方向垂直纸面向里),如图所示,棒与斜面间动摩擦因数为μ(μ

6、衡条件得：N=mgcosθ＋BILsinα．mgsinθ＝μN＋BILcosα∴当α＋β=90°时,sin（α＋β）最大，B最小