弹塑性力学-02(张量初步)

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1、1张量指标符号与张量运算为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。这里作一简介—指标符号与求和约定张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示，指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量可以记为：2张量其中是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以取值为1或2或3。当式中的i和j

2、相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列，于是用一个符号就全面地表示了应力张量的9个分量。通常约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的指标不再用括号加注取值范围。3张量指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标，简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦（EinsteinA.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：引

3、进对哑标的求和约定代替叠加号除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。例如，采用哑标后，线性变换写成4张量再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：这里是哑标，是自由指标。自由指标可以轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。5张量每个自由指标代表一个方向性：当它取值1或2或3时，分别代表该方向性在x或y或z方向上的分量。当i分别取1,2,3时，给出三个分量方程。若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具有两个或多个方向性两个自由指标，表示应力是二阶张量。哑标经过遍历

4、求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。6张量哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。只要指标仍是哑标且取值范围和相同自由指标仅表示要在取值范围内轮流取值，因此也可以换标合理选择指标和及时进行换标是熟练应用指标符号的关键，应用时应该遵循如下原则：7张量（1）同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名。例如，原来记为、和的三个矢量满足矢量和关系当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则把指标换成同名，

5、写成或8张量反之，若要把曾记为和的两个矢量的分量逐个地两两相乘，则指标应及时地换成异名，写成这样当下标和轮流取1，2，3时，共得到九个数。如果误写为则成为矢量点积再如：这里用两对异名的哑标正确地表示了两个括号中相互独立的遍历求和过程。如果误写成，则变成自由指标，失去了遍历求和的意义。9张量把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读者自己判别下式中不等号的原因：（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中，所以自由指标必须整体

6、换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法与已换名的各项同时求同一方向上的分量。（3）哑标的影响是局部性的，它可以只出现在方程或表达式的某一项中，所以哑标只需成对地局部换名。表达式中不同项内的同名哑标并没有必然的联系，可以换成不同的名字，因为根据求和约定，哑标的有效范围仅限于本项。10张量指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长度和其分量之间的关系多变量函数的全微分可写成多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和这里共有九项求和。11张量对于不符合“成对准则”的特殊情况需要做特殊

7、处理。例如，若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不计指标数。例如：若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以示不计其数。例如方程是自由指标12张量综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来合理选择和及时更换指标的名称。13张量练习：将下面表

8、达式按求和约定写成展开形式14张量练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式注意应力张量和应变张量的对称性，有15张量张量运算-张量代数相等若两个张量和相等，则对应分