弹塑性力学-02

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1、1第二章应力应用弹塑性力学2第二章应力力和应力的概念二维应力状态与平面问题的平衡方程一点处的应力状态的描述边界条件主应力与主方向球张量与应力偏量第2章应力3第二章应力作用在物体上的外力可分为表面力和体积力，简称面力和体力。力和应力的概念所谓面力指的是作用在物体表面上的力，如风力、液体压力、两固体间的接触力等。物体上个点所受的面力一般是不同的。为了表明物体表面上的一点P所受面力的大小和方向，我们在P点的邻域取一包含P点在内的微小面积元素△S4第二章应力△S是标量，故矢量的方向与△p的极限方向相同在坐标轴x,y,z方向的投影称为P点面力的分量，并规定指向坐标轴正方向的分量为正

2、，反之为负。作用在物体表面上的力都占有一定的面积，但对于作用面很小的面力通常理想化为作用在一点的集中力。5第二章应力体力：则是满布在物体内部各质点上的力，如重力、惯性力。电磁力等。物体内各点所受的体力一般也是不同的。我们可以仿照对面力的讨论，得出物体内一点C所受的体力为按体积计算的平均集度/△V，在微小体积元素△V无限缩小而趋于C点时的极限矢量，即显然，体力矢量的方向就是△V内的体力△F的极限方向。面力分量的量纲：6第二章应力体力分量的量纲：固体材料受外力作用后就要产生内力和变形。用以描述物体中任何部位的内力和变形特征的力学量度是应力和应变。应力的概念，在材料力学课程中虽

3、已讨论并应用过，但由于这一概念的重要性，我们在这里除了强调应力的确切含义之外，还要进一步给出在受力物体内某一点处的应力状态的描述方法。柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）首先提出了应力和应变的理论。为了说明应力的概念7第二章应力这个极限矢量就是物体在过C面上P点处的应力应力可分解为其所在平面的外法线方向和切线方向这样两个分量。沿应力所在平面的外法线方向（n）的应力分量叫做正应力，记做。沿切线方向的应力分量叫做剪应力，记做。8第二章应力如果中的n方向与y坐标轴的方向一致，则此时有其中是作用在C截面内的剪应力，如将分解为沿x轴和z轴的两个分量，并记作和，则过C面上

4、P点的应力分量为第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正，压应力为负。9第二章应力剪应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负；当其所在面的外法线与坐标轴的负方向一致时,则以沿坐标轴负方向的剪应力为正，反之为负。图中的各应力分量均为正应力及其分量的量纲为[力][长度]-2单位为帕（Pa）=N/m210第二章应力在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续变化的n方向。不同面上

5、的应力是不同的。这样，就产生了一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给出的各应力分量均为正方向。11第二章应力当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表P点处的应力。因此，P点处应力分量共有九个，其中有三个正应力分量、六个剪应力分量（以后将

6、证明剪力互等定理，从而实际上独立的剪应力分量只有三个）。我们把这9个应力按一定规则排列，令其中每一行为过P点的一个面上的三个应力分量12第二章应力9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象，即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的九个量这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。各应力分量即为应力张量的元素。13第二

7、章应力应力张量通常表示为其中i，j=x，y，z，当i，j任取x，y，z时，便得到相应的分量应力张量与3×3阶的矩阵写法相同。如令i代表行，j代表列，行列数1，2，3，对应于x，y，z。例如第二行第三列的元素为，及应力分量为，余类推。应当指出，物体内个点的应力状态，一般来说是不同的，即非均匀分布的。亦即，各点的应力分量应为坐标x,y,z的函数。所以，应力张量与给定点的空间位置有关，谈到应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的。以后我们将看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。14第二章应力二维应力状态与平面问题的平衡方程上一节