多叶星象函数类的一个拓广

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1、多叶星象函数类的一个拓广（226）摘要：本文引进一类负系数的p叶解析函数，用初等方法和从属关系讨论类中函数的系数不等式、偏差定理、极值点和积分算子的封闭性质.关键词：解析；系数不等式；极值点一、引言设A（p）（peN={1,2,3,•••}）表示在单位圆盘U={z:z<1}内具有形式/（z）=z〃+n=/?+l的解析函数族.设T（"）表示A（〃）中具有形式/(z)=z"-匕“z"仏>0),(1)的函数族.显然T（p）

2、象函数类和a级凸象函数类,即(1.1)/(z)wS*(#,a)oReJ>a;/⑵/(z)wK(“,q)<=>1+Re★(z)•f(z)>a.(1.2)显然由（1.1）和（1.2）式可知/（2）eK（p,a）o今gS*（p,a）.文［1-3］中研究了函数类S*（p,G）和K（/7,Q）.本文引进函数类：定义1.设0

3、数类时(1,0,1),［5］中研究了函数类g；(p,a,2).本文用初等方法和从属关系讨论解析函数类S；(p，6Z,2).的性质，得到类中函数的系数不等式、偏差定理、极值点和积分算子的封闭性质由可(”,g,2).的定义可知，f(z)e£*(“,0,2).当且仅当存在U中的解析函数w(z)并且对于zwU满足H(0)=0,

4、w(z)

5、<1.使得(zwU)(2)才‘⑶(z)_1+(1-2g“v(z).严)(z)1+w(z)显然由(2)式有Re艸(z)并且S；(p,a,2｝中的函数在U中是单叶的•从(2)式解

6、出w(z),并且利用w(z)<1.得到vv(z)

7、=<駕+2)(3)(3)式等价与23/(z)-/2(z)-，/(z)+(1—2a)f2(z)<0,zeU下面研究函数类£；(p，a，2)・得到系数不等式、偏差定理、极值点和积分算子的封闭性质，对于函数类S；(a^,2).我们还得到形如F⑵=往气严>-p(4)Z的保持积分算子的类仍属于亍(P，a2)・反过来,当F⑵w2)时，我们可以得到(4)中的/⑵的单叶半径.二.系数估计定理1.设OWavl,函数于⑵丘£*(/?,%2)当且仅当^n(n-l)an<

8、p(p-l)?!=/?+!(5)证明:(充分性)•令z=1,则利用不等式(5),我们得到z3/(z)-/2(z)

9、-

10、z3/(z)+(l-20)/2⑵5/?(/?-1)(/?-3)

11、z

12、(p_2)-£/?5-1)(/7-3)应//=/>+!p(p-l)(p-2a-l)

13、z

14、(P_2)一^n(n-l)2ann=p+z("7+2a£n{n-l)cinz(，，_2)n=/?+l所以有52p(p-l)(a-l)+2(l-a)<0//=/?+!-1)?!=/?+!5§P(PT)(必要性)设f(z)eS；(

15、p^2),则因为

16、Rez<>vl,zwUp(p-l)(p-3)

17、z(，>_2>一，讪一1)5-3)仏n=/?+l5-2)Z(p-2a-l)p(p-l)

18、z

19、(/?~2)一^n(n-l)2n=p+anooz"T+2a工讪-l)d”zfT"=〃+l<1,(ZGU)z,对所有的复数刀成立，所以我们有p(p-l)(p-3)

20、z(p-2)_£〃(〃_])(〃_3)庇、(刃-2)Z(P-26Z-1)/2(/?-l)

21、z(/，_2>-71(/2-l)2n=p+anz心+2o£n(n-1)%忖心)r+1Re在实

22、轴上选取z=re[O,l),使得三启取实值，在这个最后的不等式中消去分母并且通过实值令J⑵ZT1)就得到oop(p-l)如果取函数f(z)=zp^P(P~^z>p-i71(/2一1)就能达到准确值，证毕.三、偏差定理定理2.设0

23、z

24、=r(0

25、/2(z)

26、

27、/3(z)

28、<

29、p(p-l)(p-2)r(p~3)+p2(p-l)2r(,?_2)(7)证明：令/(Z)=Z"-，由定理1得8OOp(p-i)XKI-工川5-1)他

30、5卩("一1)n=/;+ln=p+l，护刖凋因此:

31、/2(2)

32、<卩(〃-1)严2)+⑺一i)k讣z(8)

33、

34、讣(心)〃=p+l(9)