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1、复矩阵方程AXB=C的最小二乘Hermite解PureMathematics理论数学，2016,6(1),42-49PublishedOnlineJanuary2016inHans.LeastSquaresHermitianSolutionofComplexMatrixEquationAXB=CPengWang,JianboChenSchoolofMathematicsandComputationalScienee,WuyiUniversity,JiangmenGuangdongrdrdthRece
2、ived:Dec.23,2015;accepted:Jan.23,2016;published:Jan.28z2016Copyright?2016byauthorsandHansPublishersInc・ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).AbstractBasedonMoore-Penrosegeneralizedinverse,bymakinguseofmatrix-vec
3、torproduct!on,anana-lyticalexpressionoftheleast-squaresHermitiansolutionwiththeminimum-normofcomplexmatrixequationAXB=Cisderived・KeywordsMatrixEquation,Least-SquareSolution,Moore・PenroseInverseGeneralized,HermitianSolution复矩阵方程AXB=C的最小二乘Hermite解王鹏，陈剑波五
4、邑大学数学与计算科学学院，广东江门收稿日期：2015年12月23H;录用日期：2016年1月23日；发布H期：2016年1月28FI摘要本文利用Moore・Penrose广义逆的方法，探讨了复矩阵方程的最小二乘Hermitian解，推到出了该类方程最小范数约束的最小二乘Hermitian解的解析形式。文章引用：王鵬陈剑波.复矩阵方程AXB=C的最小二乘Hermite解[J].理论数学,2016,6(1):42-49.王鹏，陈剑波关键词矩阵方程，最小二乘解，Moore-Penrose义逆，Hermit
5、ian解1.问题简述首先给出本文采用的一些记号，RnzRmXn,SRnXn?ASRnXn,CmXn,HCnXn,分别用了表示实值列向量集合，mXn实值矩阵集合，nXn的实对称矩阵集合，mXn的实值反对称矩阵集合，mXn的复值矩阵集合和nXn的Hermitian矩阵集合。对于任意的Hermitian矩阵A^CmXn其转置矩阵，共轨转置矩阵和Moor-PenroseT义逆分别表示为：AT,AH,A+O线性内积空间CmXnXCmXt中任意两个元素的内积定义为：[A1,B1],[A2,B2]该内积空间屮的范
6、数定义为：HtrA2HAl+trB2Bl,?[Ai/Bi]eCmXnXCmXt()()(i=l,2)[A,B]?[A,B]FCmXnXCmXt其中：A表示A的Frobenius范数。本文主耍考虑以下问题：问题一：对任意的矩阵：AeCmXn,BecnXs’CWCmXn设=HL{X
7、XFHCnXnAXB?E+CXD?F二22XOeHCminnXnAX0B?E+CX0D?F(22)}(1.1)求满足：XHWHL并且XH二minX的解。X^HL问题一的解XH被称为复矩阵方程AXB=C(1.2)的带有最小范数
8、约束的最小二乘Hermitian解。由于矩阵方程在工程领域尤其是控制领域有着极其广泛的应用，近年来，矩阵方程的求解问题一直是一个非常热门的研究领域，比如：运用广义奇异值分解和标准相关分解相结合，廖安平教授⑴给出了一类矩阵方程的求解方法，袁世芳教授[2卜[4]以Kronecker积为工具，推到了一类矩阵方程的带有最小范数约束的最小二乘解。其他更多的研究方法可以参考文献[5]-[12]o然而，已有的方法大多是关于实矩阵方程的，他们的方法很难直接用于复矩阵方程的Hermitian解的问题中，本文通过定义一
9、种新的矩阵和向量的运算，将问题一的求解转化成一类实矩阵方程的求解问题，给出了一个一般的解析解形式，并用具体的数值计算验证了该解析解的正确性。2.Hilbert内积空间CmXnXCmXt中的一类最小二乘解问题设:A=(Al/A2,?,An)eRmXn,beRn,若矩阵方程Ax=b是不相容的，线性最小二乘问题就是求解ATAx=ATb(2.1)一个满足Ax?b=min的向量xeRn,该问题的解可以通过求解其止则方程得到：特别地，当矩阵方程Ax二b相容的时候，其正则方程也是相
