高数微积分中值定理

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1、微分中值定理与导数的应用第3章1第一节中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理21.函数极值的定义3定义:函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.4注：（1）极值的概念是局部性的（2）有的极大值可能比极小值还小（3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处导数为零。但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得极值，例如图中的点处52.费马(fermat)引理且存在证:设则证毕存在63.驻点：导数等于零的点。注：（1）极值点要么是驻点，要么是不可导

2、点（2）驻点不一定是极值点费马引理的几何意义：7一、罗尔(Rolle)定理8几何解释:例如,9证10注意:定理条件不全具备,结论不一定成立.例如,11例证(1)(2)验证定理的假设条件满足验证结论正确验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.1213例试证方程分析注意到:1314证设且罗尔定理即试证方程14例证:由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理16几何解释:证分析:弦AB方程为17作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了

3、函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.18拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理19推论证:在I上任取两点氏中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.20例证自证:经验:欲证时只需证在I上21例.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有或22三、柯西(Cauchy)中值定理23几何解释:分析:要证24证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.25柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率26拉

4、格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：27例：证：分析:结论可变形为28罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而成立;不成立.定理也可能29应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).关键逆向思维,找辅助函数（原函数）30例分析

5、将结论交叉相乘得辅助函数F(x)试证明:31或将结论交叉相乘得换成辅助函数F(x)32证设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件.33即得证毕.34练习分析即证要证证明:对任意的实数k,设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且35证即证明:对任意的实数k,设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且由Rolle定理36试证必存在设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,证因为f(x)在[0,3]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是故由介值定理知,至少存在一点使所以f(x)在[0,2]

6、上连续,因为且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由Rolle定理知,必存在以下4题目较难37试证:存在设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内证设f(x),g(x)在(a,b)内最大值M分别在取得.由零点定理,至少介于使得具有二阶导数且存在相等的最大值,令则因此由罗尔定理,存在使得再由罗尔定理,存在使得即38(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在(2)证明:证(1)取由题意知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且39由Rolle定理,即40

7、(2)证明:证(2)对于任意的函数f(x)在[0,t]上由右导数定义及拉格朗日中上连续,在(0,t)内可导,值定理所以41例.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.则f(x),g(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:42例.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在43内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维（找原函数）设辅助函数费马引理44

8、思考题反例45