风险价值(var)和条件风险价值(cvar)

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1、金融计算与编程上海财经大学金融学院曹志广风险价值（（（VaR）））和）和和和条件风险价值条件风险价值（（（CVaR）））VaR和和和CVaR的定义VaR是一定置信水平α下（比如：99%），投资组合面临的最大损失，具体地，我们用收益率分布的1−α百分位数来定义VaR：−1VaR()α=−F(1−α)r其中：F()i为组合收益率的累积分布函数r上面的定义是从收益分布的左尾定义VaR。有时候，我们需要从收益分布的右尾定义VaR：−1VaR()α=F()αr由于VaR不具有次可加性，即组合的VaR可能超过组合中各资

2、产的加权平均VaR，因此，具有次可加性特点的CVaR常常被用来衡量组合的风险。CVaR衡量了一定置信水平α下发生损失超过VaR时的平均损失。具体地，其定义如下：−VaR−VaRzfzdz()zfzdz()∫r∫r−∞−∞CVaR()α=−Err(≤−VaR)=−=−F(−VaR)1−αr同样可以从右尾角度来定义CVaR：∞zfzdz()∫rVaRCVaR()α=1−α其中：f()i为组合收益率的概率密度函数r基于Cornish-Fisher展开式的VaR和和和CVaR**Cornish-Fisher展开式将

3、标准化之后的组合收益r（r=(r−µ)/σ）的百分位数α近似pp表示为1213132q=c()α+c()α−1s+c()α−3()[cαk−−3]c()α−5()cαs6p24p36p其中：µ为组合收益的均值，σ为组合收益的标准差，c()α为标准正态分布α百分位数，pps为组合收益的偏度，k为组合收益的峰度pp因此，组合收益r的百分位数α近似为：µ+σq，即VaR(1−α)=−[µ+σq]pppp组合的CVaR为：1CVaR(1−α)=−σ(M+(M−1)sp12p611

4、2+(M−3M)(k−3)−(2M−5Ms))31p31p24361金融计算与编程上海财经大学金融学院曹志广1c()αi其中：M=xfxdx()，i=1,2,3；f(.)为标准正态分布的概率密度函数i∫α−∞基于正态分布的VaR和和和CVaRVaR(1−α)=−[µ+σc()]αppσpCVaR(1−α)=−[µ−fc(())]αpα基于历史模拟的的的VaR和和和CVaR用组合收益率的历史观测值的经验分布来计算VaR和CVaR下面给出基于历史模拟、正态分布和Cornish-Fisher展开式计算VaR和CV

5、aR的Matlab函数。function[VaR,CVaR]=var_cvar(r,alpha,method)n=length(r);mu=mean(r);sigma=std(r);switchmethodcase'hs'VaR=-prctile(r,alpha*100);CVaR=-(mean(r(r<=-VaR)));case'norm'q_alpha=norminv(alpha,mu,sigma);VaR=-(q_alpha);CVaR=-(mu-sigma*normpdf((q_alpha-mu)/

6、sigma,0,1)/alpha);case'cf'nr=(r-mu)/sigma;s=skewness(nr);k=kurtosis(nr)-3;q=norminv(alpha);VaR=-(mu+sigma*(q+1/6*(q^2-1)*s+1/24*(q^3-3*q)*k-1/36*(2*q^3-5*q)*s^2));symsxm1=double(int(x*1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),-inf,q))/alpha;m2=double(int(x^2*1/sqrt(2*pi)*e

7、xp(-x^2/2),-inf,q))/alpha;m3=double(int(x^3*1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),-inf,q))/alpha;CVaR=-(mu+sigma*(m1+1/6*(m2-1)*s+1/24*(m3-3*m1)*k-1/36*(2*m3-5*m1)*s^2));end下面以1997-1-2到2008-2-13期间上证综合指数的日收益为例，计算其99%VaR和CVaR。数据如下表所示，第一列为日期，第二列为上证综合指数的收盘价。文件名为'shindex.xl

8、s'。2金融计算与编程上海财经大学金融学院曹志广clearx=xlsread('shindex');x(:,1)=x2mdate(x(:,1));x(1:1526,:)=[];p=x(:,2);date=x(:,1);r=price2ret(p);M=1000;alpha=0.01;ndate=date(2+M:end);method='hs';fori=1:length(r)-Ma=r(i:i+M);[VaR1