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1、矩阵理论在控制系统中的应用崔士军学院：控制学院专业：控制理论与控制工程学号：2009010201摘要：本文主要介绍矩阵理论在控制领域中的应用，主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，即给定线性定常系统的自治方程，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。一•问题的提出：为了定量地和精确地确定出控制系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出佔计。需要从其数学模型出发，分析系统运动过程和状态。1.线性系统状态方程：时变：x=A(r)x+B(t)u=x0tet()ta］(1)时不变：x
2、=Ax+Bux(0)=%0t>0(2)从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u,来求解方程(1)和(2)的解，即系统响应。解的存在性和唯一条件如果系统A(t)>B(t)的所有元在吋间定义区间［t^ta］上均为t的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间［r0,J±是连续实函数，则其状态方程的解x(t)存在且唯一。2.连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析给定线性定常系统的自治方程：x=Axx(0)=x0r>0(1)其中兀为〃维状态向量,A为〃x刃常阵定义nxn的矩阵函数00eAt=I+At+-^A2t2+…=》討八"()并称其为矩阵指数函数。出(1)所描述的
3、线性定常系统的零输入响应的表达式为：1.解的含义：(1)如果将t取为某个固定值，那么零输入响应心,⑴,即为状态空间中由初始状态勺经线性变换所导出的一个变换点。因此系统的自rfl运动就是由初态兀。出发，并由兀。的各时刻的变换点所组成的一条轨迹。(2)自由运动轨迹的形态，即零输入响应形态，是由矩阵指数函数所唯一地决定。(3)如果当(Too时，自由运动轨迹最终趋向于系统的平衡状态x二0,则称系统是渐近稳定的。线性定常系统渐近稳定充分必要条件为：UmeAt=0当且仅当矩阵A的特征值均具有负实部时，上式成立2.矩阵指数函数的性质性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7hmeAt=1即=I
4、t->()令/和7为两个自变量，则必成立/(+)(「总是非奇异的，且其逆为:(严)T=旷如设有nxn^A和F,如果A和F是可交换的，即AF=附,则必成立严I=严/=讥如严对啲导数为:^eAl=AeAt=eA,A对给定方阵A,必成立A(mt)性质8若A为对角线阵:a\a22A=0则有:宀推论：若A经过非奇异变换变为对角线阵兀，即T~]AT=A式屮入,人,…，人为A的〃个互异特征值,T为变换阵0_则有:性质9eA,=T評厂】式屮T为非奇异变换阵.推论:若A经过非奇异变换后为对角线阵入即「&T~lAT=A=式中入人…人为A的/?个互异特征值,T为变换阵.则有：申=T性质10若4经过非
5、奇界变换后，变为约当标准形人即:人1T~lAT=J=人.•■■0式中入为A的71重特征值,卩为变换阵[严j(n-D!]严_2(—2)/则冇:性质11若A有两个共辘复数特征值人卫=S±juj即:8GJA=则有:&Cosmt=e一sin血SinGJtCosujt-GJS二•问题的求解：如何求解矩阵指数函数综上可知，求解问题的关键，就是已知矩阵A的问题。下面介绍幺川的计算方法1.无穷级数法(定义法)根据定义直接计算辞职无穷级数coeA,=I+At+^A2t^-^Aktk+•••=为显k=()2.拉氏变换法(预解矩阵法)3.标准形法(特征值法)根据矩阵指数函数严的性质，叮知/=Te(T~
6、'AT)lT~l式屮：T不非奇异变换阵.(1)对角线标准形A阵具有/7个互异特征值人Q=0,1,…“)例:已知系统矩阵01-6-1-6-1解:⑴求A的特征值-165
7、A/—A=66-12+1111人=—1人2=—2(2)求4的变换矩阵，得：试用对角线标准形求/I1-6Z-5=(2+1)(2+2)(2+3)=0三个互异特征值_1丄31"_312-2p=012严1=-6一861233223(3)求严1121■3A*=PP1=012/e123-it3-63-263-3厂+尸-4e~2f+je~3t-2e~t+3e~2t+e~3t_6严+6尸_8严+9尸6e~2r+6e~3f3宀12严+
8、9严弄7-160亠+专幺亠-2宀12严+9尸可通过非奇异变换化为约当标准形Jo22(2)约当标准形法当A阵具有n重特征值人时,严=Pe(TTp1=PeJlP'x詁…=p当A阵同时具有重特征值和互异特征值时，可利用上述(1)、(2)原则求岀。例:已知系数矩阵001210-16试用约当标准形法求昇I解:⑴求特征值A-1
9、2/-A
10、=02-12160-1=(2-2)2(2-3)=0Z-7人=2二重特征值，入=3(2)选定非奇异变换阵P■101_j0r_-34-I"p=Ai=213p~l
