第1讲基本运算问题

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1、第一讲基本运算问题适用学科数学适用年级高一适用区域陕西本讲时长120分钟知识点绝对值乘法公式因式分解分式根式指数运算对数运算不等式的性质一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法含参数的不等式的解法简单分式不等式的解法教学目标理解绝对值的意义，掌握化简含绝对值代数式的一般方法，渗透分类讨论思想；掌握因式分解的基本方法,十字相乘法、简单的分组分解法,高次多项式分解；会进行分子（母）有理化，多项式的除法（竖式除法），分式拆分，分式乘方;理解—次根式、最简—次根式、冋类根式的概念,能运用其性质进行根式的化简与运算;理解不等式的基本性质

2、;掌握一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法;含参数的不等式的解法;体会分类讨论数学思想.教学重难点1・十字相乘法、简单的分组分解法；2.会进行分子（母）有理化；3.一元二次不等式的解法4.分类讨论思想和等价转换思想一.知识讲解L绝对值.(1)绝对值的意义：Y•数Q的绝对值IdI就是数轴上Q到原点的距离，而Id"I的绝对值是指数车由上Q到方的距离・a-b(a>b)b-a(a

3、x

4、x

5、

6、>a(a〉0)oxv-a或x>a.(4)多个绝对值代数式相加则需要依据每一个绝对值内的符号进行分类讨论.例如:Ix-aI+Ix-bI就需要根据尤与a、b的大小分别进行化简・例1解不等式：

7、2x+5

8、>7+%【答案】{兀

9、兀<・4,或x>2}・【解析】由不等式

10、2x+5

11、>7+」可得2x+5>7+x或2x+5<・(7+兀)，整理得x>2,或x<-4.二原不等式的解集是{兀氐<■4,或兀>2}.例2站等式：卜一1

12、+卜一3

13、>4.【答案】兀<0,或兀>4.【解析】解法一：由—1=0，得x=l;由—3=0，得"3；①若xvl，不等

14、式可变为-(x-l)-(x-3)>4t即一2x+4>4z解得兀<0,又x<1,.•.兀<0;②若1K2,不等式可变为(x-l)-(x-3)>4,即1>4••不存在满足条件的x；③若x>2，不等式可变为(兀一1)+(兀一3)〉4,即2x-4>4,解得兀>4.

15、x—3

16、入PCABDJI1IIMx0134x'_Y_'

17、x-l

18、PA+PB>4.综上所述，原不等式的解为X<0,或x>4.解法二:如图,

19、兀-1

20、表示兀轴上坐标为兀的点P到坐标为1的点A之间的距离网,即

21、PA=x-\；

22、兀一3

23、表示x轴上点P到坐标为3的点B之

24、间的距离PBt即

25、PB=x-3•所以，不等式x-l+x-3>4的几何意义即为由AB=2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x<0,或x>4.提示:两种方法分别体现了高中两大数学思想：分类讨论与数形结合.对于绝对值有关的题型，均可以用此二法来解决，要注意两个及两个以上绝对值相加时绝对值几何意义的理解.2.乘法公式•(初中已学过:完全平方式，平方差公式)立方差公式：二(d")(/+"+，);立方和公式：a-+h3=(a+b)(a2-ab+b2)；两数和的立方公式：(°+巧'=/+3//

26、?+3〃2+方3;两数差的立方公式：(a-h)3=a3-3a2b+3ab2-b3；三数和的平方公式:(a+b+cY=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.例题3计算：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+X+1)・【答案】x6-l【解析】解法一：原式二(X2-l)[(x2+l)2-珂=(X2-1)(/+兀2+1)=x6-l.解法二：原式二(X+l)(x2-x+1)(%一l)(x2+X+1)=(x3+l)(x3-1)=x6-l.提示：多项式相乘，要多借助乘法公式简化运算.例4已知d+b+c=4,ab+be+ac=4，求

27、/+/?'+c，的值.【答案】8【解析】ci1+b~+c2=(a+b+c)2-2(ah+be+ac)=8.提示本题考查对三个数和的平方公式的熟悉程度,如果能很熟悉这个公式的各个部分,则能很容易考虑到应用这个公式•要做到对每一个公式都熟悉.2.因式分解的基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法・(1)十字相乘法能把某些二次三项式分解因式，对于形如aX+bx+c=(qx+cJ(色兀+C2)的整式来说方法的关键是把二次项系数d分解成两个因数也和的积4把常数项C分解成两个因数C]和C2的积qC2,并使⑷c2+$C]正好是一

28、次项的系数b,那么可以直接写成结果^JC2+/?^4-C=(6Z1X+C1)(6/7X+C2).(2)分组分解法是指将一个多项式进行分组因式分解，然后各组中产生共同的因式,然后再用提公因式法进行总体的因式分解.例5分解因式:(1)疋+9+3F+3兀;(2)/—3兀+2;(3)