第22题复合函数的零点问题-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（原卷版）

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1、第22题复合函数的零点问题精彩解读I.题源探究・黄金母题(。为常数且(1-x},a

2、数形结合思想解题.【答案】函数/(兀)有且仅有两个二阶周期点,“I=7—+d+112—x,0

3、周期点；—cr+a+1.1当dv%v/-a+l时，由(x-6z)=xWW(1-0)八x=2-ag（a，cr—a+1）,因当a2-a+l

4、%)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上，于(兀)=["'^°其中集合[x,xeD,D=

5、象，利用图象解决问题.在此范围内，XGQ1=1.Z吋，设x=—,p,qeN*,^>2,且互质若lgxeQ,则由lgxG(0,l),可设fl*_lgx=一,m,??gN,m>2,£Lm.n互质mn因此io万,贝ijio”=(2y”，此时左边为整数，右边非pp整数，矛盾，因此lgx^e因此lg兀不可能与每个周期内xeD对应的部分相等，只需考虑lgx-M每个周期x/D的部分的交点，画出函数图象，图中交点除(1,0)外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周/II期3的部分，且“1处他=聞=而＜1,则/(x)=2-x,x<

6、2,(兀-2)2,X>2,函数g(x)=b—/(2—x),其中beR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(1'(7>:7)—+8B.-OO_C.0，_U)<4丿<4丿A.D-【答案】D.【解析】2—x,(兀一2『,x>2,x<2,得f(2-x)=2—2—n0x2,x<02-x

7、+x2,x<0y=f(x)4-f(2-x)=<4-

8、x

9、-2-x

10、,0

11、+(x—2)2,x>2x2-x+2,x<0y=f(x)-hf(2-x)=<2,02y=fM-

12、g(x)=f(x)+/(2-x)-/?,所以)uf(兀)_g(兀)恰有4个零点等价于方程f(x)+f(2-x)-b=0有4个不同的解，即函数y=h与函数y=/(兀)+/(2-X)•的图象的4个公共点，由图象可知41、3・・・・・・・・・・・.q*——••••••••••••••15•10-5•2-4-8510III.理论基础•解题原理1.复合函一数定义：设y=/(()，t=g(x),且函数g(x)的值域为/(/)定义域的子集，那么y通过/的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y=/[g(x)].2

13、.复合函数函数值计算的步骤：求y=函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.例如：已知/(x)=2g(x)=x2-x,计算g[/⑵].【解析】几2)=2—4,・・・g[.f(2)]=g(4)=12・3.已知函数值求自变量的步骤：若己知函数值求兀的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值.例如：己知/(x)=2Y,g(x)=x2-2x,若g[/(x)]=O,求x.【