实变函数部分课后习题答案(修改版)

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1、57页3.证明任何可数点集的外测度都是零.4.证明对于一维空间丘中任何外测度大于零的有界集合E及任意常数“，只要0mG.§2.P1081.举例说明Egoroff定理中的条件mE<+oo一般来说是不能取消的.2.设mE<+oo,/〃(x)‘=I,2,…都是£上的几乎处处有限的可测函数，并且limfn(x)=f(x)a.e,l/(x)l<+ooa.e,dME的可测集序列{&},使EnczE/l+l,H

2、T+00I7几=1,2,…，limmEn=mE,而在每一E”上{/；”(*)}都一致收敛于零.P1311.试就[0,1]上的Dirichlet函数D(x)和Riemann函数R(x)计算fD{x)dx=0[OJ]和JR(x)dx二0[0.1]2.证明里叮，丄分别在(0,+oo)和(0,1)上不可积。XX第二章2.2.1.证明点集F为闭集的充要条件是F=F・证明：因为F=FJF',若F为闭集，则FuF所以〒=FUF‘uFUF=Fu7故F=F反过來，若H=FUFuF,则必有FuF从而F为闭集.2.2.2.设/⑴是(-oo,oo)上的实值连续函数，证明对于

3、任意常数°,{x;f(x)>a}都是开集，{%；/（%）＞6/}都是闭集.证明:任取常数d,若兀（）w{xj（兀）＞d},则/（X（））＞Q,曲二/（兀）连续，迥心＞0,使兀wN（兀（）心JU{兀J（x）＞a}•这表明{x；/（x）＞a}是开集.任取常数d,若,且£—兀（），则从f（xn）＞a和/（兀）连续知f（x（））=hmf（xn）＞a'Z"TOO'7故x0e{x;/（x）＞6f}这表明（x；/（%）＞«}o{x;/（%）＞«}.故{兀;/（x）＞a}是闭集.第三章1.证明对任意可测集合A和〃都有加（4UB）+77?（Ari3）=加（4）+加（3）

4、（*）证明：若加（ADB）=oo,则AP

5、Bu4,B=＞m（AUB）=0,m（A）=oo,An（B）=oooo=m（AU5）+/7?（AriB）=zn（A）+m（B）+oo成立.若QB）＜oo则（*）等价于m（AU5）=加（A）+/n（B）—加（AC）3）注意至IJ4UB=AU（B-A）=0且可测=＞B-A可测加（AUB）二加（A）+m（B-A）•・•A可测//7（5）=m（Ar）B）+/n^A＜T）B）=w（Ar）B）+m（B-A）加（4nb）voo,〃2（b—人）=加（B）-加（an3）・••加（AljB）=An（A）+/n（B）-zM（4riB）

6、9、设EuR”，£可测当且仅当对任意正数一存在开集GnE及闭集FuE使得加（G—F）<£。证明：=>若E可测，则mE=mE。由外测度的定义，m*E=inf{IGI;GoE,G为开集},此时mG=1GI,从而对任意正数£,存在开集GnE，使得wG4=UA，其中4为闭集，使得AuE,加E=九4。设代=U£,则代为闭集，且limmFn=mA=mE,k=l28从而有充分大的"o，使得<-,不妨令Fg=F。那么m(G-F)=mG一mF=(mG-mE)+(mE一mF)<—+—=so22U特别取£=

7、丄，则存在开集族｛G”｝与闭集族｛代｝,使得代uEuG”，且nI008m｛Gn-Fn)<-.令G=HGn为型集,F=U打为化型集，则G,F均可测，且/2川=1n=lm（E-F）/(兀)于E,九(x)=>g(x)于E,证明f(x)=g(x)a.e.于E。证明:因为If(x)-g(x)1<1f(x)-A(x)14-1g(x)-fk(x)I,故由反证法可知对于任意正整数n,E[x;f(x)-g(x)l>

8、-]cz£[x;ll>^]u£[lg(x)-fk(x)l>-!-]故n2n2nf^E[x;f(x)一g(x)l>—]+g(x)-fk(x)l>n2/72n令R—>oo,即得mE[x\f(x)-g(x)l>—]=0on又E[x;fg]=JE[x;f(x)一g(x)l>-],故mE[x;fhg]=0,即fM=g(x)a.e.于E。证毕。2.设Ifn(x)ll,且fn(x)=>了(x)于E,证明I.f(x)l/

9、(兀)于E,从而由Riesz定理，有子列九⑴Tf(兀),必・于E。即fn.(%)T.f(%)于