实变函数课后答案

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1、习题1.11．证明下列集合等式．(1)A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)；(2)(A∪B)C=(AC)∪(BC)；(3)A(BC)=(AB)∪(A∩C)．c证明(1)A∩(BC)=A∩(B∩C)cc=(A∩B∩A)∪(A∩B∩C)c=(A∩B)∩(A∩C)=(A∩B)(A∩C).c(2)(A∪B)C=(A∪B)∩Ccc=(A∩C)∪(B∩C)=(AC)∪(AC).c(3)A(BC)=A(B∩C)cc=A∩(B∩C)c=A∩(B∪C)c=(A∩B)∪(A∩C)=(AB)∪(A∩C

2、).2．证明下列命题．(1)(AB)∪B=A的充分必要条件是：B⊂A；(2)(A∪B)B=A的充分必要条件是：A∩B=Ø；(3)(AB)∪B=(A∪B)B的充分必要条件是：B=Ø．cc证明(1)(AB)∪B=(A∩B)∪B=(A∪B)∩(B∪B)=A∪B=A的充要条是：B⊂A.cccc(2)(A∪B)B=(A∪B)∩B=(A∩B)∪(B∩B)=A∩Bcc必要性.设(A∪B)B=A成立，则A∩B=A,于是有A⊂B,可得A∩B=∅.c反之若A∩B≠∅,取x∈A∩B,则x∈A且x∈B,那么x∈A且x∉B

3、与A⊂B矛盾.cc充分性.假设A∩B=∅成立,则A⊂B,于是有A∩B=A,即(A∪B)B=A.c(3)必要性.假设(AB)∪B=(A∪B)B,即A∪B=AB=A∩C.若B≠∅,ccc取x∈B,则x∉B,于是x∉A∩B,但x∈A∪B,与A∪B=A∩C矛盾.充分性.假设B=∅成立,显然A∪B=AB成立,即(AB)∪B=(A∪B)B.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6(1)如果{A}是渐张集列,即A⊂A(∀n≥1),则{A}收敛且nnn+1n∞limAn=∪An;n→∞n=1∞(2)如果{An}是渐

4、缩集列,即An⊃An+1(∀n≥1),则{An}收敛且limAn=∩An.n→∞n=1∞证明(1)设An⊂An+1(∀n≥1),则对任意x∈∪An,存在N使得x∈AN,从而n=1∞∞x∈AN(∀n≥N),所以x∈limAn,则∪An⊂limAn.又因为limAn⊂limAn⊂∪An,n→∞n=1n→∞n→∞n→∞n=1∞由此可见{An}收敛且limAn=∪An;n→∞n=1(2)当A⊃A(∀n≥1)时,对于x∈limA,存在n

5、存在k使得n>n,从而x∈A⊂A,可见nk0k0nk0n∞∞∞limAn⊂∩An.又因为∩An⊂limAn⊂limAn,所以可知{An}收敛且limAn=∩An.n→∞n→∞n→∞n→∞n=1n=1n=14．设f是定义于集合E上的实值函数，c为任意实数，证明：∞⎡1⎤(1)E[f>c]=∪E⎢f≥c+⎥；n=1⎣n⎦∞⎡1⎤(2)E[f≤c]=∩E⎢fc−=∩limEf>c−

6、．⎢n⎥⎢n⎥k=1N=1n=N⎣k⎦k=1n→∞⎣k⎦+1证明(1)对任意的x∈E[f>c],有f(x)>c,则存在n∈Z使得f(x)≥c+成n∞∞⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤立.即x∈E⎢f≥c+⎥,那么x∈∪E⎢f≥c+⎥.故E[f>c]⊂∪E⎢f≥c+⎥;另⎣n⎦n=1⎣n⎦n=1⎣n⎦∞∞⎡⎤⎡1⎤+1一方面,若x∈∪E⎢f≥c+⎥,则存在n0∈Z使得x∈∪E⎢f≥c+⎥,于是n=1⎣n⎦n=1⎣n0⎦∞1⎡1⎤f(x)≥c+>c,故x∈E[f>c].则有E[f>c]⊃∪E⎢f≥c+⎥.n0n=1⎣n⎦+1(2

7、)设x∈E[f≤c],则f(x)≤c,从而对任意的n∈Z,都有f(x)

8、

9、f(x)−f(x)

10、<(∀n≥N),即f(x)>f(x)−≥c−(k≥1),nnkkk∞1⎡1⎤⎡1⎤即fn(x)>c−,故x∈limE⎢fn>c−⎥(∀k≥1),所以x∈∩limE⎢fn>c−⎥,故kn→∞⎣k⎦k=1n→∞⎣k⎦∞[]∩⎡1⎤Ef≥c⊂limEf>c−；⎢n⎥k=1n→∞⎣k⎦∞⎡1⎤+⎡1⎤另一方面,设x0∈∩limE⎢fn>c−⎥,则对任意k∈Z有x0∈lim