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1、课时作业提升(六十二)坐标系J—-1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换＜后，曲线C：?+/=36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标.解：设圆x2+y2=36_h任一点、为P(x,y)fx=2x1,伸缩变换后对应的点的坐标为P(xz,yf),则，'：.4x'2+9yf2=36,即七一+七一=1・22・・・曲线C在伸缩变换后得椭圆〒+亍=1,其焦点坐标为(士、卩，0).2.求经过极点0(0,0),力(6,号)，B(6迄,乎)三点的圆的极坐标方程.解：将点的极坐标化为直角坐标，点O,Af3的直角坐标分别为(0,0),(0
2、,6),(6,6),故△0/3是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3),半径为3迈，圆的直角坐标方程为(x-3)2+(v-3)2=18,即x2+/-6x-6y=0,将x=/?cos@,^=psin0代入上述方程，得p2—6p(cos&+sin0)=0,即p=6-/2cos^—・3.已知圆Oi和圆6的极坐标方程分別为P=2,“2—2问cos(&—¥)=2.(1)把圆O］和圆。2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：(1)由“=2知/=4,所以x2+y=4;因为“2_2^pc
3、os(0—3=2,cos&cos才+sinOsin力=2,所以x+/-2x-2y~2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=.化为极坐标方程为“cos&+〃sin&=1,即〃sin(&+3=¥.2.设M,N分别是曲线p+2sin0=0和〃sin@+沪乎上的动点，求M,N的最小距离••解：因为M,N分别是曲线p+2sin0=0和psin^+j)=^上的动点，即M,N分别是圆x2+x+2y=0和直线x+y—=0上的动点，要求M,N两点间的最小距离，即在直线x+y—1=0上找一点到圆x?
4、+F+2y=0的距离最小，即圆心(0,—1)到直线x+v—1=0的距离减去半径，故最小值为卩彩片-1=^2—1.3.在直角坐标系数xOy屮，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为“cos@—另=1,M,N分别为C与X轴，y轴的交点.(1)写出C、的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解：(1)由pcos(0—申)=1得pgcos畔in⑵由⑴知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为从而C的直角坐标方程为吉+零=1,即x+y[3y=2.当0=0时
5、，p=2,所以3，当0=号时，P=爭，所以所以戶点的直角坐标为(1,茅,则P点的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为6>=
6、(peR).6.已知直线/：“sin(0—另=4和圆C：p=2kcos(0+另伙H0),若直线I上的点到圆C上的点的最小距离等于2,求实数k的值并求圆心C的直角坐标.解：圆C的极坐标方程可化为p=-/2^cos0—迈Asin0,即=y{2kpcos3—f2kpsin0,所以圆C的直角坐标方程为x2+.y2—y[2kx--[2ky=0,即+所以圆心c的直角坐标为(¥«,—¥幺).直线/的极
7、坐标方程可化为psin〃•¥・一“cos〃•爭・=4,所以直线/的直角坐标方程为x-y+4y[2=0,-k=2.即比+4
8、=2+比
9、,两边平方,得k=2k+3,k>0,所以［k=2k+3或"S_Zr=2£+3,解得k=-,故圆心C的直角坐标为7.(2015-全国卷I)在直角坐标系xOy中，直线Ci：x=—2,圆C2：(x—l)2+(y—2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求G，C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为0=》SWR),设C2与C3的交点为M,N,求gMN
10、的面积.解：(1)因为x=/?cos6,y=ps<9,所以G的极坐标方程为/?cos0=—一2,C?的极坐标方程为p2—2pcos0—4/?sin0+4=0.(2)将0=中代入p2—2pcos<9—4/?sin0+4=0,得宀3血+4=0,解得0=2迈，血=迈・故P_P2=P，即
11、MN
12、=JL由于C?的半径为1,圆心G到MN的距离d=2,所以△C2MN的面积8.在极坐标系中，圆C是以点C(2,—効为圆心，2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线/：&=—誇("WR)所截得的弦长.解：方法一(1
13、)设所求圆上任意一点MS，0),如图,在RtAOJM中，ZOMA=^fZ/OM=2?t—&一务"
14、=4.因为cos^AOM= M所以
15、OM
16、=
17、CM
18、・cos^AOM,即p=4cos（2兀一〃一£）=4cos（&+彳）验证可知，极点€）与力（4,—号的极坐标也满足方程.故p=4cos（&+号为所求.（2）设/:0=—晋（“WR）交圆C于点P
