芜湖一中自主招生考试数学试题及答案解析

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1、芜湖一中自主招生考试数学试题及答案解析题号一二三总分1314151617得分一、选择题（每小题6分，计36分）1．若一元二次方程的两根为、，则等于（）A．0B．1C．0或—2D．0或12．从1、2、3、4、5这些数中任取两个，则它们的和是偶数的概率是（）A．B．C．D．3．满足不等式组的所有整数解的个数为（）A．20B．21C．22D．234．正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则的值为（）A．B．C．D．5．二次函数，（、为常数，且）与轴的交点的横坐标分别为、，则、、、的大小关系是（）A．B．C．D．6．两个相似

2、三角形，它们的周长分别是36和12，周长较大的三角形的最大边边长为15，周长较小的三角形的最小边边长为3，则这两个三角形的面积之和是（）A．54B．56C．58D．60二、填空题（每小题7分，共42分）7．=（化成最简形式）8．在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（m，）两点，则一次函数的解析式为9．方程的解是10．已知由n个单位正方体堆成的简单几何体的主视图（a）和俯视图（b），则n的最大值与最小值的和为（a）（b）第10题第11题11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CG//AB，BG分别交AD、AC于点E、F，若，那么12．现有

3、纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3:5，则桶的容积为升。三、解答题（共5大题，计72分，请写出必要的推理或演算过程。）13．（14分）求出满足方程的所有正整数解。14．（15分）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且∠ACB=90°，又。（1）求此二次函数的解析式；（2）若平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径长。15．（14分）如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，M是CD的中点，BM=EM，求证：∠BAC=∠EAD。16．（14分）某建筑

4、公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工。根据工程进度情况，建筑公司可随时调整两队的人数。如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍；如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍。问甲队至少有多少人？17．（15分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=BD=1，AB=AC，CD<1，且∠BAC+∠BDC=180°，求CD的长。高一自主招生数学参考答案一、选择题（每小题6分，计36分）题号123456答案CBBDAD二、填空题（每小题7分，共42分）7．8．9．或10．1911．12．40三、解答题13．解：方法一：原方程可以变形为，………………5分这个

5、关于x的整系数一元二次方程有整数根，所以它的判别式是完全平方数，即是完全平方数，………………………10分由于，所以解得，于是可得，，……………………14分方法二：，……………………5分因为故，…………………………10分分别代入原方程可得，，。………………14分14．解：（1）设A、B两点横坐标分别为，，则，由题意知，OC是Rt△ABC斜边AB上的高，由直角三角形中的射影定理得故，故或，因此二次函数的图象不过原点，故舍去，取…………………………4分由上知，C的纵坐标为1，又由tan∠CAO—tan∠CBO=2得变形得亦即∴综上，二次函数的解析式为………………7分（2）设，，∴∴故

6、，是方程的两根。∴+=2，·=…………………………11分∵以MN为直径的圆与x轴相切，故即两边平方得，即解得或因此，圆的半径是1或2………………15分15．解：分别取AC、BD的中点F、G，再连结BF、MF、MG、EG，因F是AC中点，∠ABC=90°所以又MG是△ACD的中位线，所以故BF=MG…………………………5分同理，GE=MF又已知BM=EM，所以△BFM≌△MGE故∠BFM=∠MGE…………………………10分而∠CFM=∠CAD=∠DGM所以∠BFC=∠EGD故∠BAF+∠ABF=∠GAE+∠AEG由AF=BF得∠BAF=∠ABF，同理∠GAE=∠AEG∴2∠BAF

7、=2∠EAG即∠BAC=∠EAD证毕……………………14分16．解：设甲队有x人，则乙队有人，即乙队有人………6分设从乙队调y人去甲队，甲队人数为乙队人数的3倍，则……………………11分即，由y>0知，y至少取5，即所以甲队至少有130人……………………14分17．解：作D关于BC的对称点E，连结AE、BE、CE，设AE与BC交于点F，由AD//BC知，A、E到BC的距离相等，于是可得AF=FE，设CD=CE=x，AF=FE=m，由∠BAC+∠BDC=180°得∠BAC+∠BEC=180°，