2、数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.3•利用导数确定函数的单调性的步骤：（1）确定函数/U）的定义域；（2）求出函数的导数；⑶解不等式•厂⑴>0,得函数的单调递增区间；解不等式厂⑴V0,得函数的单调递减区间.利用导数的符号来判断函数单调性：设函数y=Jlx）在某个区间内可导⑴如果广（兀）>0,则血:）为严格增函数；⑵如果厂（工）<0,则心）为严格减函数.【精选例题】例1・讨论函数y=x2-4x+3的单调性.解：取兀]<七，X
3、、兀2丘匕収值7U1）—几兀2）=（心2—4xi+3）—（%22-4也+3）作差=（X1
4、—兀2）（兀1+^2—4）变形当X1兀12），定号・・・_y=/W在（一8,2）单调递减.判断当20,7（兀1）<7（兀2），・・・y=/（x）在（2,+oo）单调递增.综上所述）=几丫）在（一oo,2）单调递减，》=夬兀）在（2,+oo）单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性?(_8,2)(2,4-00)减函数y=f(x)一般地，设函数y=J(x)在某个区间内可导，如果用丁>0,则yu)为增函数；如果金)‘<0,则yw为减函数.例2・
5、确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(xy=2x-2.令2兀一2>0,解得兀>1.因此,当兀丘(1,+g)时，/W是增函数.令2尤一2<0,解得x<.因此，当圧(一1)吋，7W是减函数.练习：确定下列函数的单调区间：(1)y=x3—9x2+24x；(2)y=x—x3例3.求函数y=^x3-^(a+a2)x2+a3x+a2的单调减区间.解：/=X2-(67+a2)x+a3=(x-ci)(x-6t2),令)*<0得(x-ci)(x-^2)<0.(1)当qVO吋，不等式解集为a
6、1时，不等式解集为a1时的函数y=-x3--(a+a2)x2+a3x+a2的单调减区间为(％)；32当0VaV1时的函数y=-X3--(6/+a2)x2+a3x+a2的单调减区间为(/,a)；32当«=0,G=1时，无减区间.思考：(1)若f(x)>0是沧)在此区间上为增函数的什
7、么条件？若/'(兀)>0是/U)在此区间上为增函数的充分而非必耍条件.例如JM=x当尸0,/G）=0,xHO时，厂（兀）>0,函数/（x）=x3在（一00,4-00）上是增函数.（2）若广（X）=0在某个区间内恒成立，夬x）是什么函数？若某个区间内恒有/W=0,则/（x）为常数函数.1.y=f（x）的图象如下图（1）所示，则y=/（兀）的图彖最有可能的是（(A)2.在区间（G,b）内/V）>0是/（兀）在（G,b）内单调递增的A.充分而不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3・确定函数/
8、U）=2?-6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：砂=6“一12儿令6,—12x>0,解得xVO或x>2.因此，当用（一oo,0）时，函数是增函数，当xe（2,+8）时，幷）也是增函数.令6x2-12x<0,解得0<兀<2.因此，当兀丘（0,2）时，/U）是减函数.4.讨论二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的单调区间.1.设函数/（X）=67X-（6Z+l）ln（x+1）,其中求/（X）的单调区间.解:由已知得函数/⑴的定义域为（一1,+8）,且厂心竺z!（wx+（1）当-lWoW0时，广（尤
9、）<0,函于（尤）在（-1,+8）上单调递减.（2）当a>0时，由广（兀）=0,解得x=丄.af'（兀）、/（兀）随X的变化情况如下表：X(-1,丄)aa(丄,+°°)a广（劝—0+./(A)极小值/从上表可知,当XG（-1±）时，广⑴＜0,函数/⑴在（-1,丄）上单调递减.aa当炸（丄,2）时，广（兀）＞0,函数/（兀）在（丄,+oo）上单
