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《最值问题3(垂线段与辅助圆)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三大模型：1.垂线段最短：如图，直线BC与直线外一点A,点A到直线BC的距离M）最短一一31.例：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,4）,直线y=—兀一3与x轴、y轴分别交于A、B,点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为2.如图，已知EOABC的顶点A、C分别在直线x=l和x=4上：O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为・【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质.【分析】当B在x轴上时，对角线OB长的最小，由题意得出ZADO=ZCEB=90°,OD=1,OE=4,由平行四边形的性质得出OA〃BC,OA=BC,得
2、出ZAOD=ZCBE,由AAS证明Aaod^Acbe,得出OD二BE=1,即可得出结果.【解答】解：当B在X轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=l与x轴交于点D,直线x=4与x轴交于点E,根据题意得：ZADO=ZCEB=90°,OD=1,OE=4,•・•四边形ABCD是平行四边形，・・・OA〃BC,OA=BC,・•・ZAOD=ZCBE,在Aaod和Acbe屮，(ZAOD=ZCBE{ZADO=ZCEB,[oa=BCAAAOD^ACBE(AAS),AOD=BE=1,/.OB=OE+BE=5；x=lx-4故答案为：5.2.辅
3、助圆1：直角三角形构造以斜边为直径的外接圆A.B・213D.12V1313方法二：OB2=OH2+HB2OH=5,当BH最小也就是等于0nlOB最小=5x=l1.例：如图，RtAABC中，AB丄BC,AB=6,BC=4,P是AABC内部的一个动点，且满足ZPAB=ZPBC,则线段CP长的最小值为（B）答案：2【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理.【分析】首先证明点P在以AB为直径的OO上，连接OC与交于点P,此时PC最小,利用勾股定理求出OC即可解决问题.【解答】解：・・・ZABC=90。，/.ZABP+ZPBC=90°,vzp
4、ab=zpbc,・•・ZBAP+ZABP=90°,・・・ZAPB=90°,・••点P在以AB为直径的OO±,连接OC交OO于点P,此时PC最小,在RTABCO中，VZOBC=90°,BC=4,OB=3,.•.oc=7bo2+bc2=5»APC=OC=OP=5-3=2.APC最小值为2.故选B.1.辅助圆2：作以定点为圆心，定长为半径的圆1.例：如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.CeB
5、答案：3如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC±的动点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是L2.（构造以F为圆心，FC为半径的圆，再过点F作AB的垂线段）【考点】翻折变换（折叠问题）•【分析】如图，延长FP交AB于当FP丄AB时，点P到AB的距离最小，利用Aafm^Aabc,得到耗求出FM即可解决问题.【解答】解：如图，延长FP交AB于M,当FP丄AB时，点P到AB的距离最小.ACBZA=ZA,ZAMF=ZC=90°,Aafm^Aa
6、bc,CF=2,AO6,BC=8,AF=4,AB=5/AC2+BC2U1O»4FMFM=3.2,PF=CF=2,PM=1.2点P到边AB距离的最小值是1.2.故答案为1.2.【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理.垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于屮考常考题型.相关练习：1.如图，直角三角形肋C中，AC=fBC=2,戶为斜边肋上一动点.PELBC,PFLCA,则线段防长的最小值为.B2.如图，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,点、P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任
7、意一点，则PK+QK的最小值为・ADKp3.如图所示，已知点N（l,0）,直线y二-x+2与两坐标轴分别交于A,B两点,M,P分别是线段OB,AB上的动点，则PM+MN的最小值是1.（3分）（2015・咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC±的动点，BF1AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.下列说法：①AG>GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为山④CG的最小值为畐・1.其屮正确的说法是—.（把你认为正确的说法的序号都填上）BEC5、如图，在矩形ABCD中，48=4,AD=6fE是边的中点，F是线段BC上的动点
8、,将5EBF沿EF所在直线折叠得到F,连接MD,则D的小值是（）人、2710-2B、6C、2V13-2D、4B.7C.8D.节D—Q—C6.如图，菱形ABCD的边AB=8,ZB=60°,P是AB上一点，BP=3,Q是CD边上一动点,将梯形APQD沿直线PQ折叠，
