线段与差最值问题

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.专题一.线段和（差）的最值问题【知识依据】1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边；5、垂直线段最短。一、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：..... .A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：..... .（3）两个点都在内侧：..... .（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、一个动点，一个定点：..... .（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：..... .（二）动点在圆上运动：点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：..... .三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：..... .四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：（2）点A、B在直线m异侧：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’..... .Ⅰ．专题精讲最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．Ⅱ．典型例题剖析一．归入“两点之间的连线中，线段最短”Ⅰ．“饮马”几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．模型应用：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．..... .第1题第2题第3题第4题4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为             ．第5题第6题第7题6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为             ．7．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为            ．若PA—PB长度最大，则最大值为            ．8．已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．（1）求抛物线的解析式；..... .（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB＝1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．Ⅱ．台球两次碰壁模型已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短...... .变式：已知点A、B位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.模型应用：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；..... .（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y＝x2－x＋3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．..... .Ⅲ．已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小．(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线m同侧：..... .模型应用：1.如图，抛物线y＝－x2－xError!Nobookmarknamegiven.＋2的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA－PB≤AB；(3)当PA－PB最大时，求点P的坐标.2.如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．..... .yxCBADOEy3.如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．..... .4.已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由．..... .一．归入“三角形两边之差小于第三边”1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是.2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？..... .好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．例题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为＋1时，求正方形的边长．..... .变式：如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（　　）①若菱形ABCD的边长为1，则AM＋CM的最小值1；②△AMB≌△ENB；③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；⑤当AM＋BM＋CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤.....