分块矩阵的性质及其应用【毕业论文+开题报告+文献综述】

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本科毕业论文开题报告信息与计算科学分块矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义:分块矩阵在国内外已有了一定的研究.由于有的矩阵比较复杂,因此,人们在研究矩阵的性质和计算时提出了分块矩阵的概念.随着计算机的发展,分块矩阵的应用有了广阔的前景,它开始频繁应用在一些科技领域中,诸如求解微分方程组,研究数理统计量的分布,研究集合曲面的标准形等.矩阵的理论起源,可追溯到18世纪,见于著作则是在19世纪.A.凯莱在1858年引进矩阵为一个正方形的排列表,且能进行加法与乘法运算,于是人们就把A.凯莱作为矩阵论的创始人.然而在此之前,C.F.高斯在1801年与F.G.M.艾森斯坦在1844-1852年就早已先后把一个线性替换（即线性变换）的全部系数作为一个整体,并用一个字母来表示.艾森斯坦还强调乘法的次序的重要性,指出ST与TS未必相同.与艾森斯坦同时的C.埃尔米特以及稍后的E.N.拉盖尔和F.G.弗罗贝尼乌斯也都先后发展了线性替换的符号代数.弗罗贝尼乌斯较丰富的工作于1877年发表在最早的数学杂志之一的《克雷尔杂志》上.矩阵的相似标准形,矩阵的合同标准形,矩阵的求逆,矩阵的特征值与广义特征值等是矩阵论的经典内容;矩阵方程论,矩阵分解论,广义逆矩阵等是矩阵论的现代内容.矩阵及其理论在现代科学技术的各个领域都有广泛的应用.[1]通过上面对矩阵历史的了解我们发现矩阵是很容易理解和掌握的,然而,矩阵在实际应用中还是会遇到很多问题,在实际生活中,我们的很多问题可以用矩阵抽象出来,但这些矩阵一般都是高阶矩阵,行数和列数都是一个相当大的数字.因此我们在计算和证明这些矩阵时会遇到很烦琐的任务.这时我们得有一个新的矩阵处理工具,来使这些问题得到更好的解决！这时便产生了矩阵的分块思想,分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.所谓矩阵分块,通俗的说就是将比较复杂的矩阵按照一定的规律分割成几个较简单的小矩阵,从而简化运算.这个过程就叫做矩阵的分块.[5]分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数,使矩阵的结构更清晰明朗,23 从而使一些矩阵的相关计算简单化,而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题.分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题,以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上,对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解,所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念,我们需要透彻的了解分块矩阵,在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块,从而研究它的性质及应用是非常必要的.根据目前国内外对矩阵应用研究的发展,可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析,以及组合数学等.在这样的形式下,必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面:通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题;计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题,求行列式,求矩阵的秩等问题的新的快捷方式.二、研究的基本内容,拟解决的主要问题:研究的基本内容:通过学习分块矩阵的相关的几种定义,掌握分块矩阵的性质,从而熟练分块矩阵的应用.解决的主要问题:1．了解分块矩阵的基本概念.2．探讨分块对角化的性质.3．研究分块矩阵的应用.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤:1．查阅相关资料,做好笔记;2．仔细阅读研究文献资料;3．在老师指导下,确定整个论文的思路,列出论文提纲,撰写开题报告;4．翻译英文资料;5．撰写毕业论文;6．上交论文初稿;7．反复修改论文,修改英文翻译,撰写文献综述;8．论文定稿.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料,参考相关内容.在老师指导下,23 与同组同学研究讨论,用确定合理的方法来解决问题.四、参考文献:[1]居余马.线性代数[M].清华大学出版社,1992.[2]穆大禄,裴惠生.高等代数教程[M].山东大学出版社,1990.[3]北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社.[4]叶伯诚.高等代数[M].青岛海洋大学出版社,1989.[5]张敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2003,1(1):120.[6]S.K.Jain.LinearAlgebra:AnInteractiveApproach[M].北京:机械工业出版社,2003,7.[7]HamiltonJ.D,“TimeSeriesAnalysis1”PrincetonUniversityPress[J].1999,26–291.毕业设计文献综述23 信息与计算科学分块矩阵的性质及其应用数学上,矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵,把它用在解线性方程组上即方便又直观.因为这些数字是有规则地排列在一起,形状像矩形,所以数学家们称之为矩阵,通过矩阵的变化,就可以得出方程组的解来.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源,矩阵最早出现在我国的《九章算术》中,在《九章算术》方程一章中,就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状,随后移动,就可以求出这个方程的解.在欧洲,运用这种方法来解线性方程组比我国要晚2000多年.数学上,一个矩阵乃一行列的矩形阵列.矩阵由数组成,或更一般的由某环中元素组成,矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析,以及组合数学等.矩阵的研究历史悠久,拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.作为解决线性方程的工具,矩阵也有不短的历史.1693年,微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论(theoryofdeterminants).1750年,加布里尔·克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年,高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法.1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼.通过上面对矩阵历史的了解我们发现矩阵是很容易理解和掌握的.然而,矩阵在实际应用中还是会遇到很多问题,在实际生活中,我们的很多问题可以用矩阵抽象出来,但这些矩阵一般都是高阶矩阵,行数和列数都是一个相当大的数字,因此我们在计算和证明这些矩阵时会遇到很烦琐的任务.这时我们得有一个新的矩阵处理工具,来使这些问题得到更好的解决！这时便产生了矩阵的分块思想,分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.所谓矩阵分块,通俗的说就是将比较复杂的矩阵按照一定的规律分割成几个较简单的小矩阵,从而简化运算.这个过程就叫做矩阵的分块.分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数,使矩阵的结构更清晰明朗,从而使一些矩阵的相关计算简单化,而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题.分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题,以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上,23 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解,所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念,我们需要透彻的了解分块矩阵,在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块,从而研究它的性质及应用是非常必要的.在文献[3]中给出了分块矩阵定义:把一个矩阵,在行的方向分成块,在列的方向分成块,称为的分块矩阵,记作,其中,称为的子块,它们是各种类型的小矩阵.例:把一个5阶矩阵,记:,=,,.则就可以看成由上面4个小矩阵所组成,记:=并称它是的一个分块矩阵,其中的每一个小矩阵称为的一个子块.常用的矩阵分块方法,除了上例中的4块矩阵,矩阵的分块还有以下几种常用的分法:(1)按行分块=,其中,.(2)按列分块=,其中,.(3)当阶矩阵中都集中在主对角线附近,有时也可以分块成下面的对角块矩阵(又称准对角矩阵):23 C=,其中是阶方阵(;).矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚,如上面的矩阵(1)中,的左上角是一个3阶单位阵,左下角是零矩阵.在文献[4]中给出了第二个好处(也是最重要的好处)是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行,从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算.分块矩阵在线性代数中是一个基本工具,研究许多问题都要用到它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用.如定理:设是一个四分块阶矩阵,其中分别是、、、阶矩阵.若可逆,则.若可逆,则.文献[5-12]中还提到了有关分块矩阵的一些用法,比如用分块矩阵证明有关矩阵乘积的秩的定理:矩阵乘积的秩不超过其因子的秩,即且或者表示成,其中表示矩阵的秩.还可以利用分块矩阵求矩阵的行列式问题,比如利用分块矩阵求高阶行列式:设都是阶矩阵,其中,并且,则.当然要计算行列式,如果条件不同,则结果的表达形式也可以不同,这些性质都可以通过分块矩阵的方法来证明,并且用分块矩阵的方法证明起来会显得简洁明了,方便很多.此外也可以用分块矩阵求矩阵的秩,求矩阵的逆矩阵,利用分块矩阵证明一个矩阵是否为零矩阵等等.对于分块矩阵的性质,有些也可以从行列式的性质出发推导出来的.分块矩阵有非常广泛的应用,特别是利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁,可以使问题简化,而且方法也比较统一,有其独特的优越性.23 参考文献[1]居余马.线性代数[M].清华大学出版社,1992.[2]穆大禄,裴惠生.高等代数教程[M].山东大学出版社,1990.[3]北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社.[4]叶伯诚.高等代数[M].青岛海洋大学出版社,1989.[5]张敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2003,1(1):120.[6]孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院学报,2006,23(5):25-26.[7]刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用[J].沧州师范专科学校学报,2006,22(4):40-41.[8]李玉梅.分块矩阵的几个重要应用[J].怀化师专学报,2000,19(4):77-78.[9]林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用[J].广东广播电视大学学报,2006,15(2):109-112.[10]严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建广播电视大学学报,2006,(5):71-73.[11]俞正光,王飞燕,叶俊,赵衡秀编.大学数学概念、方法与技巧.线性代数与概率统计部分[M].清华大学出版社,施普林格出版社,2002年.[12]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004,(4):50-53.[13]S.K.Jain.LinearAlgebra:AnInteractiveApproach.北京:机械工业出版社,2003,7.[14]HamiltonJ.D,“TimeSeriesAnalysis1”PrincetonUniversityPress[J].1999,26–291.23 本科毕业论文（20届）分块矩阵的性质及其应用摘要随着现代科学技术的发展,特别是电子计算机的计算技术的发展,为矩阵理论的研究进一步开辟了更加广阔的前景,因此学习和掌握矩阵的基本理论与方法,对于工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的,有着重要的意义和应用价值.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,而分块矩阵是矩阵中的一个重点内容.分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数,使矩阵的结构更清晰明朗,23 从而使一些矩阵的相关计算简单化,而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题.本文重点就分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题,以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析,通过引用大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解,所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念,我们需要透彻的了解分块矩阵并能学会在何时应用矩阵分块,因此研究它的性质及应用是非常必要的.关键词:分块矩阵;矩阵分块;计算;证明;线性相关;秩23 AbstractThedevelopmentofmodernscienceandtechnology,especiallytheelectroniccalculationofcomputertechnology,whichcreatedabroaderprospectforthefurtherstudyofmatrixtheory.Soitwasindispensableaboutlearningandmasteringthebasictheoriesandmethodsofmatrix,forengineeringandtechnicalpersonnel,advancedscienceandengineeringcollegegraduate,undergraduate,ithadimportantsignificanceandapplicationvalue.Matrixwasanimportantmathematicsconcept,whichwasamongthemajorresearchfieldsofAlgebrastudy,andwasoneofthemainresearchobjectsofalgebra,andthematrixtheoryofpartitionedmatrixisakeycontent.Theoryaboutblockmatrixcouldbeusedtodeclinehigh-ordermatrixandtomakeit'sstructureclearertosimplifysomecalculationrelatedtomatrix,italsocouldbeusedtoprovesomeproblemsaboutmatrix.Inthispaper,itfocusedonanalysingblockmatrixwhichcouldbeappliedtoproveproblemsabouttheinverseofmatrixandgettherankofmatrixandcalculatethesquarematrixmatrix.Byquotinganumberofexamples,wecouldgetthatit'sconvenienttosolvemanyproblemsaboutcalculationandprovementbyusingblockmatrices.Obviously,blockmatrixwasaveryimportantconceptinhighalgebra.So,itwasnecessarytoresearchandcomprehendtheblockmatrix'spropertyandapplicationforus.Keywords:partitionedmatrix;blockmatrix;calculate;prove;Linearcorrelation;rank23 目录摘要IAbstractII1前言12基本概念22.1分块矩阵的定义及其性质22.2其他相关概念[3]43分块矩阵的应用73.1分块矩阵在线性相关性中的应用73.2分块矩阵在矩阵的秩方面中的应用83.3分块矩阵在矩阵行列式相关问题中的应用113.4分块矩阵在求逆矩阵方面的应用163.5分块矩阵在半正定性方面的应用203.6分块矩阵在其它方面的应用215小结24参考文献25致谢2623 1前言数学上,矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵,把它用在解线性方程组问题中即方便又直观.因为这些数字是有规则地排列在一起,形状像矩形,所以数学家们称之为矩阵,通过矩阵的变化,就可以得出方程组的解来.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源,矩阵最早出现在我国的《九章算术》中,在《九章算术》方程一章中,就提出了解线性方程组各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状,随后移动,就可以求出这个方程的解.在欧洲运用这种方法来解线性方程组比我国要晚2000多年[1].所谓矩阵分块[2],通俗的说就是将比较复杂的矩阵按照一定的规律分割成几个较简单的小矩阵,从而简化运算,这个过程就叫做矩阵的分块.分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数,使矩阵的结构更清晰明朗,从而使一些矩阵的相关计算简单化,而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题.分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题,以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上,对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解,所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念.本文将通过对分块矩阵性质进行研究,比较系统的总结分块矩阵在计算与证明方面的应用.23 2基本概念2.1分块矩阵的定义及其性质定义2.1[1]把一个矩阵,在行的方向分成块,在列的方向分成块,称为的分块矩阵,记作,其中称为的子块,它们是各种类型的小矩阵.常用的矩阵分块方法,有以下几种（1）分成4块,其中,,,分别是,,,阶矩阵.（2）按行分块,其中,.（3）按列分块,其中,.（4）当阶矩阵中都集中在主对角线附近,有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）,其中是阶方阵（;）.矩阵分块能使得矩阵的结构显得更清楚,而且矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行,从而把高阶矩阵的运算转化为较低阶矩阵的运算,这在下面的研究中会得到充分的体现.定义2.2[3]（分块矩阵的加法与数量乘法）设都是矩阵,并且对23 用同样的方法进行分块.,.其中都是矩阵,即和是同型矩阵,那么.若为任意数,则.定义2.3[3]（分块矩阵的乘法）设为矩阵,为矩阵,若对作如下分块,,其中每个是小矩阵,每个是小矩阵,则,其中,.注在分块矩阵的乘法中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致,否则不能进行分块矩阵的乘法.23 定义2.4[4]（分块矩阵的转置）设是一个分块矩阵,那么.注分块矩阵转置的规则[4]:1)把的每一块都看成元素（数）取转置;2)对的每一小块矩阵取转置.分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具,由文献[3]我们可以推广得到如下定义.定义2.5[5]（分块矩阵的初等变换）以下三种变换称为分块矩阵的初等行（列）变换.（1）用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一行（列）;（2）互换两行（列）的位置;（3）把一个行的（矩阵）倍（即这个行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵）加到另一行（列）上.定义2.6[6]（分块矩阵的初等矩阵）将某个单位矩阵如下进行分块:.对它进行一次分块矩阵的初等变换得到的分块矩阵称为分块矩阵的初等矩阵.从以上可知,分块矩阵的初等矩阵有如下类型的一些矩阵:,,,,,.2.2其他相关概念[3]定义2.7（线性组合）如果存在数域中的数使,则称向量是向量组的一个线性组合.定义2.8（等价）当向量是向量组的一个线性组合时,我们就说a可以经向量组线性表示.如果向量组中的每一个向量都可由向量组23 线性表示.如果两个向量组互相可以线性表出,则称这两个向量组等价.定义2.9（线性相关与线性无关）如果有数域中不全为零的数,使,那么向量组称为线性相关的.否则称为线性无关.定理2.1设与是两个向量组,如果满足向量组可由向量组线性表出,且,则向量组线性相关.推论2.1如果向量组可以经向量组线性表示,且线性无关,那么.推论2.2两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量.定义2.10（极大线性无关组与秩）一向量组的一个部分组本身是线性无关的,且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）所得的部分向量组都线性相关的,则称这个部分组为向量组的一个极大线性无关组.极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.推论2.3每一向量组都与它的极大线性无关组等价.推论2.4等价的向量组必有相同的秩.定理2.2设与是两个向量组,如果向量组可以由线性表出,则.证明设,,不妨设向量组的极大线性无关组是;向量组的极大线性无关组是,.则由推论2.3知向量组与向量组等价,向量组与向量组等价,从而,.因为向量组可由线性表出,所以由向量组线性表示的传递性可知线性无关组可由线性表出.则.因此23 .定义2.11（半正定的）设二次型,其中是实对称矩阵,若对于非零向量都有,则称此二次型为半正定的,矩阵为半正定的,记为.定义2.12（合同）数域上矩阵,称为合同的,如果有数域上可逆的矩阵,使得成立.23 3分块矩阵的应用3.1分块矩阵在线性相关性中的应用分块矩阵在线性相关性中有着广泛的应用,欲透彻掌握达到运用自如却非易事.主要是它的基础知识抽象,解题方法技巧性强,稍有不慎就会陷入困境.本节就谈谈它在线性相关性中的应用.例1矩阵的列向量组线性无关的充分必要条件是只有零解[7].证明令,其中是的列向量,且,即,从而.若线性无关,则有,即只有零解,反之亦成立.例2若矩阵列向量组线性无关,且,求证:（1）列向量组线性无关的充要条件是列向量组线性无关.（2）的列向量组线性相关（即）的充要条件是存在,使;（3）设,的行向量组线性相关（即）的充要条件是存在,使.证明（1）充分性:设,即,令,则.由于矩阵是列向量组线性无关,所以,即,而矩阵是列向量组线性无关,因此,从而列向量组线性无关.必要性:设,则,即.因为列向量组线性无关,所以,从而列向量组线性无关.（2）充分性:设,为的列向量,,由于,所以至少存在一个,使得.由得.从而.而,即齐次线性方程组有非零解.所以的列向量组线性相关.23 必要性:设的列向量组线性相关,则齐次线性方程组有非零解.不妨设使.取,则,且,即结论成立.（3）的证明类似（2）.3.2分块矩阵在矩阵的秩方面中的应用例3设,都是矩阵,若,那么[8].证明对矩阵分块如下:,由于,即.从而().这说明矩阵的各列都是的解.从而,即.例4设是矩阵,是矩阵,那么[9].证明设,,.则.所以从而向量组可由线性表示.由定理2.2可知,即.令23 ,.则.即从而向量组可由线性表示.由定理2.2可知,即.因此.一般地,对若干矩阵的乘积有.例5设是两个任意的矩阵,求证[10].证明把矩阵按列分块,记.则.而向量组可由线性表出,那么.因此23 .例6设,都是阶矩阵,求证[11].证明由于.而,都可逆,因此.而,.所以.例7设为矩阵,是从中取行得到的矩阵,则[12].证明不妨设是的前行,则.由例5知,于是.利用分块矩阵来证明矩阵秩的问题,我们一般会采用两种方法,一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明;另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的,其中很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.3.3分块矩阵在矩阵行列式相关问题中的应用在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,23 使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.例8设矩阵或其中均为方阵,则.证明（1）对用数学归纳法进行证明.当时,左边右边,结论成立.假设时,结论成立,即,,令,则当时,即,从而左边右边,因此结论成立.（2）当时,则23 ,由（1）可知,而,,则.综上所述可知结论成立.例9设,,,证明:.证明因为,所以.而,因此,所以.例10已知和均为阶方阵,证明:[13].证明由于,两边取行列式则可得23 .例11设分别是和矩阵.证明:（1）当可逆时,有.（2）当可逆时,有.证明（1）根据分块矩阵的乘法,有.两边取行列式即得.特别地,则.(2)根据分块矩阵的乘法,有.两边取行列式即得.特别地,则.例12计算下面阶行列式23 .解令,,,为阶方阵.由于,故为可逆方阵.易知.从而可得.例13计算行列式(1),(2).解（1）设,其中,,,.因为,,所以是可逆矩阵.又易知.23 从而可得.（2）设,其中,,,由于.从而可知.例14计算行列式.解设,.则.行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式中的计算问题具体就形如（分别是和矩阵）的类型的行列式计算进行了分析,其中将一个行列式分块成后,又细分为几种情况进行了讨论,依据不同的情况给出了不同的计算方法,在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待,从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见,利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程,能够快速解决问题.23 3.4分块矩阵在求逆矩阵方面的应用定理3.1[14]设是一个四分块方阵,其中为阶方阵,为阶方阵,当与都是可逆矩阵时,则是可逆矩阵,并且.特别地（1）当,,与都可逆时,则.（2）当,,与都可逆时,则.（3）当,,与都可逆时,则.证明设可逆,且,其中为阶方阵,为阶的方阵.则应有.即.从而因为可逆,用右乘（3.2）式可得,代入(3.1)式得,则.用右乘(3.4)式可得,23 代入(3.3)式得.则可得.所以.定理3.2[14]若设是一个四分块方阵,其中为阶方阵,为阶方阵,当与都是可逆矩阵时,则是可逆矩阵,并且.特别地（1）当且与都可逆时,则.（2）当与都可逆时,有.（3）当与都可逆时,有.推论3.1（1）若设是一个分块对角方阵,则.（2）若设是一个分块对角方阵,则23 证明用数学归纳法进行证明结论.当时,由定理3.2可知结论成立.假设当时,结论成立,则当时,对再进行四分块,即.由定理3.2可知,而由归纳假设可知,因此结论成立.综上所述可知结论成立.（2）的证明类似于（1）.例15设,求.解令.则容易求得.且.由题可得23 .例16求矩阵的逆矩阵.解设,,.则,,.由推论3.1（2）可得.本小节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵,先将该矩阵分成四小块,再根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别中那些可逆那些不可逆,再具体运用.3.5分块矩阵在半正定性方面的应用定理3.3[14]设与均是实对称矩阵,且与合同,若,则.证明由于,那么存在可逆矩阵,使得,其中小矩阵为对角矩阵.因为与合同,所以存在可逆矩阵,有,则取矩阵,使得.从而.23 推论3.2设与均是实对称矩阵,且与合同,若是非半正定,则也是非半正定的.定理3.4设与均是对称阵,则当可逆时,与合同.证明按照合同的定义可知定理3.4是正确的.定理3.5若可逆,且,则.证明取,则.因为且,则存在可逆矩阵,使得,则.取,则可逆,且,所以,因此.例16设,求证.解设,则.显然.而,显然.则由定理3.5知.例17设求证是非半正定的.23 解设,则.显然是可逆的,则由定理3.4知与合同.而,显然是非半正定的,因此由推论3.2知是非半正定的.3.6分块矩阵在其它方面的应用将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积,这也是矩阵分解理论中的常见问题.特别是它在广义矩阵的计算与研究中有着重要的应用.定义3.1[14]设矩阵,,如果存在一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵,使得.则称上式为矩阵的一个满秩分解.由定义当矩阵为列满秩矩阵时,则就是一个满秩分解;当矩阵为行满秩时,则是一个满秩分解,这个满秩分解称为平凡的,在理论研究中有时用到.定理3.6设矩阵,,则有满秩分解.证明因为,对实行若干次初等行变换后,可将化为分块矩阵.这里.即的后行全为零,.于是存在若干个阶初等矩阵的乘积,记为,使得.即.将分块为,,,便有.23 因为是可逆矩阵的前列,所以是一个列满秩矩阵,是行满秩矩阵,因此是的一个满秩分解.例18求矩阵的一个满秩分解.解为对施行初等行变换后化为分块矩阵,并且记录初等矩阵的乘积,故对分块矩阵施行,由得,.此时.进一步求得.就有.于是的一个满秩分解.23 5小结本文通过大量定理证明和例子对分块矩阵的性质和应用进行了总结分析.本文涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关性等问题,在证明线性相关问题上,利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容,对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论;在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题;在求逆矩阵方面,本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后,通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法,并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法.通过本文的论述,充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性,也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位.当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明和计算都进行了讨论,所以在应用的完整性上还有待改进,并且还可以继续进行研究探讨.23 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