测量误差与不确定度评定讲座05_五_不确定度评定的数字特征_续_

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1、技术篇误差与不确定度测量误差与不确定度评定讲座（五）不确定度评定的数字特征（续）□耿维明（接上期）00.010.02Ⅱ∑%%□方法Ⅰ测量结果分布：0.40.340.26q25.4825.4925.5025.5125.52分别求其离差绝对值的数学期望：□%%%%□P0.10.150.50.150.1∞E｜q-E（q）｜Ⅰ=∑｜q-E（q）｜Pi=0×0.5+0.01×0.3+0.02×方法Ⅱ测量结果分布：i=1q25.4825.4925.5225.5125.520.2=0.007□%%%%□P0.130.170.40.

2、170.13∞E｜q-E（q）｜Ⅱ=∑｜q-E（q）｜Pi=0×0.4+0.01×0.34+分别求其数学期望：i=1∞E（q）Ⅰ=∑xiPi=25.500.02×0.26=0.0086i=1可见，方法Ⅰ明显优于方法Ⅱ。因此，用平均离差∞E（q）Ⅱ=∑xiPi=25.50〔q-E（q）〕可以判定随机变量q的各观测值相对平均i=1值的离散程度。但由于该方法带有绝对值，因而给计两种方法测量结果的数学期望都为25.50，测得值一算带来了麻烦。所以，一般采用与它性质和作用相仿样，概率分布又相差不大，看不出哪种测量方法准确度的〔

3、q-E（q）〕2，即离差平方的数学期望作为随机变量的另高，为此要计算它们的离差。计算得出的离差分布为一个数字特征。一般习惯上把它称为随机变量q的方差，-0.02-0.0100.010.02Ⅰ∑%%%%□并用D（q）来表示，对于离散型随机变量的方差有0.10.150.50.150.1∞-0.02-0.0100.010.02D（q）=〔q-E（q）〕2P（7）Ⅱ∑%%%%□∑iii=10.130.170.40.170.13对于连续型随机变量的方差有分别求其离差的数学期望：∞+∞2D（q）=∫〔q-E（q）〕f（x）dx（

4、8）E〔q-E（q）〕Ⅰ=∑〔q-E（q）〕P=（-0.02）×0.1+－∞ii=1对于前例若用方差计算，显然有（-0.01）×0.15+0×0.5+0.01×0.15+0.02×0.1=0∞∞222E〔q-E（q）〕Ⅱ=∑〔q-E（q）〕Pi=（-0.02）×0.13+D（q）Ⅰ=∑〔q-E（q）〕Pi=（-0.02）×0.1+（-0.01）×0.15+i=1i=1（-0.01）×0.17+0×0.4+0.01×0.17+0.02×0.13=02220×0.5+0.01×0.15+0.02×0.1=0.00011两

5、种方法的离差数学期望都为零，还不能判定哪∞222D（q）Ⅱ=∑〔q-E（q）〕Pi=（-0.02）×0.13+（-0.01）×种测量方法准确度高。经分析运算过程发现，在求离i=1差数学期望的过程中，把正偏差和负偏差相互抵消2220.17+0×0.4+0.01×0.17+0.02×0.13=0.000138了。为解决这一矛盾，可采用离差的绝对值，其离差绝综上可知结论是一致的，方法Ⅰ优于方法Ⅱ，由于对值｜q-E（q）｜分布为用E〔q-E（q）〕2来度量离差的分散程度，因而可以看出00.010.02离差平方以后其量纲必然会

6、改变。为不改变量纲，可将Ⅰ∑%%□0.50.30.2离差平方的数学期望再开方，即68中国计量ChinaMetrology2011.4误差与不确定度技术篇%1n1σ22姨E〔q-E（q）〕（9）=（x）=·n·σ2=n2∑Din2ni=1式（9）称为随机变量q的均方根误差，或称为标准所以得到偏差，并记为σ，即1n1n%E（s2）=E〔（x-μ）2-（x-μ）2〕=（x-μ）2-E（x-μ）2%2∑i∑Eiσ=姨D（q）=姨E〔q-E（q）〕（10）ni=1ni=12实际测量中，用式（10）来求离差的分散程度还不1σn-

7、122=·n·σ-=σ（13）方便。前面已说过，随机误差实际上就是一个连续的随nnn由此可见，s2的数学期望并不等于σ22不是σ2，因此s机变量。而当n→∞时，数学期望接近于真值即E（q）=μ，的无偏估计值。如果用s2来估计σ2，必然在结果中含有m频率接近于概率，即＝p，因此，式（10）可写成n-1n一个系统误差。为了得到参数σ2的无偏估计值，只n%1n%2σ=姨D（x）=lim∑（xi-μ）（11）n2n→∞姨ni=1要把s乘以就可以了，这就是说n-1当测量次数趋于无穷时，σ称为理论标准差或总nnnn112222体

8、标准偏差。总体标准偏差σ值小，表明测量值比较集σ=s=·∑（xi-x）=∑（xi-x）n-1n-1ni=1n-1i=1中，σ值大表明测量值比较分散。其中，（x2的目的是i-μ）（14）其中，σ2称为总体方差。为了区别总体标准偏差，为避免正误差和负误差相互抵消，因而取其绝对值，开方的目的是为了不改变其量纲。用s作为总体标准偏差σ的无偏估计值，则有