第10题函数的最值与值域-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题系列（原卷版）

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1、第10题函数的最值与值2/（西）一/（兀2）精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第31页例4改编【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求岀函数在某一闭区间上的最大值和最小值.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式.的最大值是M,最小值是〃2,A.与。有关，且与b有关C.与Q无关，且与b无关【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等.【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活.【考试方向】这

2、类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇.【难点中心】求函数最值（值域）通性通法：（1）观察法；（2）利用常见函数的最值（值域）；（3）分离常数法；I.题源探究・黄金母题2【例1】已知函数f（x）=,*［0,2］,求函数的最大值X+1和最小值.2【答案】—，—23【解析】设斗是［0,2］上的任意两个实数，且旺＜兀，则西+1I吃+1丿2(x2+1—Xj—1)2(兀2—xj(州+1)(勺+1)(x,+l)(x2+l)由0

3、兀2—兀1>0,(Xj+1)(兀2+1)>0,所以/(^)-/(x2)<0,即/(X1)

4、)=6-y中取，所以最值之差一沱与b无关，

5、选B.【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递(4)单调性法；(5)换元法；(6)配方法;(7)基本不等式法;(8)判别式法；(9)有界性法；(10)图象法；(11)导数法.增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值.4【例2][2017浙江卷17】己知底尺，函数/(x)=

6、x+——a^ax在区间[1,4]上的最

7、大值是5,则Q的収值范围是.9【答案】4【解析】xg[1,4],x+-g[4,5],分类讨论：x44①当a>5时，/(x)=a-xa=2a-x——，xx9函数的最大值2。一4=5,・・・。=一，舍去；244②当q54时，f(x)=xa+a=x+—<5,此时命题成立;XX③当4

8、对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当6/>5；®a<4；®40,y>0,且x+y=l,则x2+/的取值范围是【答案】pl【解析】X2+/=X2+(1-x)2=2x2-2x+1,xg[0,1],所以当兀=0或1时，取最大值1；当x=-时，取最小值丄；因此取22值范围为[丄,1]【考点】二次函数【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为儿何关系求取值范围，当x>0

9、,j^>0,x+y=1表示线段，那么x2+y2的儿何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.III.理论基础•解题原理一、函数的最值的基本概念设函数=/(X)的定义域为/,如果存在实数M满足：⑴对于任意xeI,都有/(x)M；(2)存在xog/,使得/(x0)=M,则M为函数y=/(x)的最小值.二、函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的

10、“单峰”函数一定存在最大值(最小值).IV.题型攻略・深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、