数学初高中衔接(整式)

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1、整式的变形是重要的代数式的恒茅变形，也是高中数学中极其常见的运算.高中生计算能力差，符号(字母)运算错误率高是一个普遍问题.我们在初中阶段已经了解整式的概念，会进行简单的整式加'减运算，乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)；会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).根据高中学习的需要，我们还将学习一些靳的乘法公式，因式分解的新方法，对于要分解的因式也不限于二次多项式.I希望同学们对“配方法”与“待定系数法”这两种基本方法有一定的认识.而对整式J的恒等变形，应注意加强高次多项式运算的练习，提高计算能力.°

2、修豹识拔理1.整式单顼式和冬项式统称整式.2.整数指数茶正霍数指=aa-a(“为正fitt).0整数指数需：o°=1(0*0)・负整数指数需：=n为正整敦).a整教指好的运算性质：⑴丁宀严：(2)宀宀严；(3)胡=亍b”；(4)《)”=务(5)(犷)”=产.(以上a、b都不为0・叽n都为整救)注：高中将学习分数指数歩.3.乘法公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)二(2)完全平方公式：＜a±b^=a2±lab^b2・我们还需要掌握的乘法公式：(1)立方和公式：(a+b)(/-〃+，)=/+/*(2)立方差公式：(a-b)3+〃+，)=/-几(3)三数和平方公式：(a+b+c)2

3、=a2+b2+c2+2ab-i-2bc+2ac:(4)两数和立方公式：+戻+3駁+力几(5)两数差立方公式：(a-b)3=a3-b3-3a2b+3ab2・以上公式均可以通过证明得到.4•因式分解把一个多项式化成几个益式的枳的形式.这种变形叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法是互連的.除了初中学习的提公因式法、公式法.还应拿握以下方法：(1)分组分解法；(2)十字相乘法：(3)求根法：(4)待定系数法.分解因式时要灵活运用各种方法.并且要把每一个多项式因式分解到不能再分解为止・例如T-4=&+2X*-2）是不够的.应该为丘-4=X+2Xx+V2）（x-方）•【例1】已知求(x

4、+lXP・*+0({-疋+1)(疋・1)"•屮的值・［分析］先化简，后求值是解决这类问题的一般作法.但如果展开再化简显然太麻烦，观察发现可用隶法公式解决.【例1】解：原式=(x3+1)(x6-x3+1)(x9-1)-2w=(^+1)(^-1)-218=x18-1-218••Y—。♦人■二原式=一1•［评注］在计耳过强中.要注念整数扌旨數*的运算法则.■•■如果(x-2)5=ax5+bx°+c?+卅+飯+f,那么a+b+<;+/+&+f的值为多少？I将x=l代入等式的两边，等式仍然成立./.(1-2)5=al5+dl4+c13+^l2+e1+/,!忙越}补充分解因式的几种方法：1.分

5、组分解法对于一个名顼式的整体•若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时•可考虑分步处理的方法.即把这个多项式分成几组.先对各组分别分解因式.然后再对整体作因式分解.如4r+2r-少•'一列=(4x，—(lx-3y)=(2x+3y)(2x—3y)+(2r-3)0=(2r+3y+1X»一3y)・2.十宇相乘法一般地，对于二次三项式d+fcc+c(aMO),如果二次项系数a可以分解成两个因数Z枳.即"血①，常教顼c可以分解成两个因敦Z积，即c=do.把a】，gci.G排列如下：aC2^a2c按斜线交叉相乘，再相加•得到66+殍1・若它正好尊于二次三项式flT+hr+c的一次项系

6、数b.即。16+好1=亠那么二次三项式就可以分解为两个因式apr+G与之积.即ax2^bx+c=(axx+ci)(pyx+C?)・像这种借助画十字交叉线分解系数.从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法•通常叫做十字相乘法.1.求根法若&+fex+c=O0H0)有两个实数根兀、X,.则二次三项式ax2+&V+C就可分解为a(x-兀)(兀-切・(参考第五章)【例2】分解因式：(1)3丘・8x-3i(2)P-5弓+6尸

7、(3)2?-7^+6y2+2x-y-12.【分析］这儿个題用捉公因氏法和公瓦法都不太容易.不妨*虑十字相柬法.分纽分解法.求根法.待定系数法等等.第(3)题可将多项式看成

8、变量x的二次式.【例：］解：(1)法一(十字相乘法)：把二次顼的系数3分解成1.3两个因数的积.常数项一3分解成-3.1两个因數的积.当我们把1.3、-3.1写成后.发现lxl+3x(-3)正好等于一次项的系教-8.•••3X2-8—3=(x-3X3X+1)•法二(求根法)：令3*-欧-3=0・解得方程有两根x1=3,x2=-

9、.【例2】分解因式：(1)3V-8X-3

10、(2)X2-5x^+6/

11、(3)2?-7^+6/+2x-y-12.【分析］这几个越用捉公因瓦法和公氏