导学案：函数的基本性质

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1、1.3函数的基本性质【入门向导】数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简耍说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未來100年能源结构的变化趋势作出预测.由图象可以看出近150年來人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐壇多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后乂逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大.太阳能呢？从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐

2、渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐増人.8642••••oooO能源结构比例能能阳核夭185019001950200020502100年读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1.这个区间可以是整个定义域•如.尸;T在整个定义域+®）上是单调递增的，在整个定义域（一8,+®）上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质.2.这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y=/-2%+1在整个定义域（一I+-＞）上不具有单调性，但是在（一I1］上是减函数，在（1,+-）.上是增函数，这时增减

3、性即单调性是函数的一个局部性质.fl,X为有理数，3.有的函数无单调性.如函数尸仁斗工询晦它的定义域是（一8,10,/为无理数，+°°）,但无单调性可言，又如y=F+l,{0,1,2},它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性.二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法•严格按照单调性定义进行证明.主要步骤有如下五步：（1）取值：定义域屮X,应的选取，选取X】，&时必须注意如下三点：①加也取值的任意性，即“任意取加心”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代K，広；②K与&有大小，一般规定③石与曲同属一个单调区间.（

4、2）作差：指求f闆_心・（3）变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式代禺）一代幻进一步化简变形，变到利于判断fg一心的正负为止•常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等.一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号.（4）定号：根据变形结果，确定代益）一代笛）的符号.（5）判断：根据益与也的大小关系及/U）与的大小关系，结合单调性定义得出结论.例1证明：函数尸”（xGR）是增函数.证明设馅，&是R上的任意两个实数，且则fCrJ一f（&）=疋一用=（山一&）（壬+为&+疋）1Q=（K—卫）［（K+空疋）2+^左］・V/.J

5、T1—A2<0.iq易得（眉+空刃）"+^220・1%i=—您・・•上式等于零的条件是］2I&=0,13即简=&=o,显然不成立，・・・(k+㊁&)'+［疋>0.fOJ—f(x2)

6、数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间吋，不妨约定“能闭则闭，须开则开”.数奇偶性学法指导一、学习要点1.要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数fd)的奇偶性.(2)代一劝=—代劝或/•(—劝=代劝是定义域上的恒等式.2.奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f(—=f—xof(—x)±f(x)=0。=±1(f(x)HO)

7、•fx3.奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦成立.因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法.4.按奇偶性分类，函数口J分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.5.在公共定义域内：(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数.(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数;奇函数与偶函数的积(商)是奇函数.以上两条同学们可以口行验证.1.设代力是定义域关于原点对称的一个函数，