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1、第三章向量空间与线性方程组一.本章的基本要求与重点、难点熟练寧•握向量的线性组合、线性表示，深刻理解向量组的线性相关性的概念，掌握向量组的线性相关性的判定方法、最大无关组及秩的性质.熟练掌握齐次及非齐次线性方程组的求解方法•理解基础解系的概念.牢记解的结构及解的存在性判定定理.重点：线性相关性的判定；方程组的求解.难点：线性相关性与向量空间的概念；通解的建立过程.二.本章重要定义、性质、定理及注释1•向量间的线性关系(1)线性组合：对于给定的向量E，…，乞，如果存在一组数心*2,…，忍使关系式0=kg+k2a2+•••+
2、&"、•成立，则称向量0是向暈组內，。2,…，。$的一个线性组合，或称向量0可由向量组©,a?,…，as线性表示.由矩阵的运算知：非齐次线性方程组Ax=b是否冇解，相当丁•向量b是否可由矩阵A的列向量组线性表示.注意：任何一个兀维向量a=(⑷，也，…，勺)都可由兀维基木单位向量组®①，…,5(n阶单位矩阵的兀个行向量)线性表示,且:a=alel+a2e2+--+anEn.(2)线性相关与线性无关：设。]皿2,…,冬是一组〃维向暈，如果存在一组不全为零的数心，込，…，£,,使kg+他色+•••+«%=0成立，则称向量组线性
3、相关；如果上式仅当k、=k2=•••=£$=0时成立，则称向量组內，02,％线性无关.齐次线性方程组Ar=0是否冇非零解，相当于A的列向量组是否线性相关.几个常用结论：①单个非零向量是线性无关的；②含冇零向量的向量组一定线性相关；③基木单位向量组一定线性无关；④两个向量组成的向量组线性相关的充耍条件是：对应元素成比例.2.向量组的秩和矩阵的秩(1)极(最)大线性无关组：设內，。2,…，乞是一个川维向量组，如果向量组中冇厂个向量线性无关，且向量组中任何/*+1个向量线性相关，则这/个线性无关的向量就称为向量组⑷血?，…，％
4、的一个极(最)大线性无关组.相关结论：若a「a：，…，a匚是向量组的线性无关部分组，则它是极大线性无关组的充要条JJ2JrIZ5件是：向量组心
5、,^2,…，a、屮每一个向量都可由。「。八，…，。」；线性表示.若向量组內，a?，…，s线性无关，则a身就是极大线性无关组.(1)向量组的等价性：设有向量组(A)：0],。2,…，色和向量组(B)：01，02,…,0/,如果向量组(A)的每个向量都可由向量组(B)线性表示,则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示.如果向量组(A)和向量组(B)可以相互线性表示，则称向量组(A)
6、和(B)等价.向量组的等价具冇：反身性、对称性、传递性.几个常用结论：①任一向量组和它的极大线性无关组等价；②向量组的任意两个极大线性无关组等价；③两个等价的线性无关向量组所含的向量个数相同；④向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相同.(2)向量组的秩：向量组的任一极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩.记为：秩(。
7、,02，-・，0£)，或©2，…4丿•若向疑组只含零向最，则规定它的秩为零.(3)矩阵的秩：设A=〃呦，则有矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等.矩阵A的行秩和列秩统称为矩阵A的秩.记为ra
8、nk(A),或r(A).儿个常用结论：①对于矩阵A=(aij)mxnf有:当r(A)=m时，A的行向量组线性无关，此时称A行满秩；当r(A)=n时，A的列向量组线性无关，此时称A列满秩；②短阵A的初等行(列)变换不改变矩阵的秩，且不改变英列(行)向最间的线性关系；③求向量组的秩可转化为求矩阵行(列)向最组的秩，可用初等变换求秩；2.重要定理与公式定理1、向量组a、,a_…yam线性相关的充分必要条件为：向量组中至少有一向量可由Jt余的加一1个向疑线性表示.定理2、若0,。2,…,色线性无关，而©0“・・,硯,0线性相关，
9、则0可由向录组ava2^-,ar线性表示，且表示法唯一.定理3、若ax,a2，-•-,ar线性相关，则ax，•-,ar,a线性相关.定理4、若ya,线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得的向屋组仍线性无关.定理5、若向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关.定理6、〃个〃维向量线性无关的充分必要条件为：由向量组构成的矩阵的行列式不等于零.定理7、矩阵的秩等于矩阵行(列)向量组的秩.定理8、向量组的任意一个极大线性无关组与向量组本身是等价的.定理9、两个等价的线性无关组所含的向量个数相等.定理10、两个
10、等价的向量组具有相同的秩.定理11、设有两个向杲组A：,。2，…，乙；〃：01，02，…，0、，若向最组A可由向最组〃线性表示，线性无关，则定理12、若枕维向量0,冷，…，色是一组两两正交的非零向気则。］,的,・・・,爲线性无关.2.线性方程组解的判定(1)齐次线性方程组4冈二=0：该方程组一定有解(至少有零解)，当
