第2.2次向量与线性方程组.ppt

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1、第三节向量组与矩阵的秩向量组的秩矩阵的秩极大线性无关组设有向量组A，如果在A中能选出个向量满足(1)向量组线性无关，（2）向量组A中任意个（如果有的话）都线性相关，则称是向量组A的一个极大线性无关组向量组中任一向量都可由极大无关组线性表示。向量组的秩向量组S的极大无关组含有向量的个数称为S的秩，记为定理如果向量组A能由向量组B线性表示，则定理等价向量组的秩相等。规定只含零向量的向量组的秩为零矩阵的行秩和列秩矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。矩阵的行秩与列秩相等。证明设A的列秩为L，并设A的列向量组的一个极大线性无关

2、组构成型矩阵这表明A的行向量可由B的行向量线性表示，而B恰有L行应用于A的转置矩阵的子式定义是A的一个三阶子式，它A由的第2，4，6行与第1，5，7列交叉处的元素所构成。矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（若存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作规定零矩阵的秩等于0例求矩阵的秩解在A中，容易看出一个2阶子式A的三阶子式只有一个经计算可知因此R（A）=2。例求矩阵的秩解B是个阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B的所有4阶子式全为零。因此R（B）=3设A为n阶方阵，如果称A为满

3、秩矩阵矩阵的秩的性质矩阵的秩等于矩阵的行秩与列秩。定理推论则A的列向量组线性无关的充分必要条件是列向量组线性无关的矩阵称为列满秩矩阵。试证证明记C=AB，C的列向量可由A的列向量线性表示又C的行向量可由B的行向量线性表示试证证明记C=ABC的列向量组可由A的列向量组线性表示。A的列向量组可由C的列向量组线性表示。等价向量组的秩相等C的列秩=A的列秩R（C）=R（A）求矩阵A的秩第四节齐次线性方程组矩阵方程为其中