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《导数与函数的单调性、极值、最值(比赛02)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数与函数的单调性、极值、最值、应用班级姓名复习：c'=；(xl,y=(Inx)'=；(log“x)'=；(sinx)'=；O'二；(cosx)'=(ax=知识点一：导数与函数的单调性一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，若在该区间内/>0,则函数y=f(x)在该区间内是增函数；若在该区间内/<0,则函数)，二f(x)在该区间内是减函数.例1.判断卞列函数的的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x；(2)f(x)=x2-2x-3；(3)/(x)=sinx-x,xg(0,7r)；(4)/(x)=2.J+3;^-24x+1.要点：川导数
2、求函数#调区间的三个步骤：①求函数/(X)的定义域与导数ff(x)；②令广(x)>0,解不等式得X的范围即为增区间；③令广(x)v0,解不等式得x的范围即为减区间.问题1：若在某个区间内恒有/Xx)=0,则函数门对有什么特性?例2.已知导函数冇下列信息：①当10；②当x〉4,或xvl时，广(x)v0；③当x=4,或尤=1时，/f(x)=0；试画出函数门兀)图像的人致形状.例3.如图，水以常速(即单•位时间内注入水的体积相同)注入下而四种底而积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度力与时间r的函数关系图像.(2)⑶(4)练习1
3、.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：(1)/(x)=x2-2x+4；(2)f(x)=ex-x；(3)f(x)=3x-x^；(4)f(x)=xy-x2-x：(5)f(x)=X+COSX,XG(0,—).练习2.求证:函数/(x)=2?-6x2+7在(0,2)内是减函数.知识拓展一-•般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之,函数的图像就“平缓”一些.如图，函数y=/(x)在(0上)或(4,0)内的图像“陡哨”,在(仇+oo)或(yo,q)内的图像“平缓”.知识点二
4、：导数与函数的极值问题2：如图，函数y=/(x)在a,b,c,d,e,仁g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=/W在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=/(x)的导数的符号有什么规律？观察：函数y=/⑴在点兀=d的函数值/⑷比它在点兀=。附近其它点的函数值都,fa)=；且在点x=d附近的左侧广⑴0,右侧广⑴0；类似地，函数"/⑴在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其它点的函数值都,fb)=；而且在点x=b附近的左侧广(兀)0,右侧fx)0.定义：我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点,于⑷叫做函数y=f(x)的极小值;
5、点b叫做函数v=/(a)的极大值点，门方)叫做函数y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.极值反映函数在某一点附近的,刻画的是函数的注意：①函数的极値(填：是，不是)唯一的；②一个函数的极大值是否一定人于极小值；③极值点一定出现在区间的—(内，夕卜)部，区间的端点—(能，不能)成为极值点.④极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点？比如：函数/(x)=x3在x=0处的导数为,但它(是或不是)极值点.即；导数为0是点为极值点的条件.例4.求函数y=yx3-4x+4的极值.要点：求可导函数/（X）的极值
6、的步骤：①确定函数的定义域;②求导数/心）；③求方程/心）=0的根；①用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格；检查于心）在方程根左右的值的符号，若左正右负，则在这个根处収得极大值;若左负右正，则/（兀）取得极小值；若左右不改变符号，则/（力在这个根处无极值.例5.已知函数f（x）=X3-3x2-9x+l；（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写岀极值；（3）画出它的人致图像.②f(x)=xi-27x；练习3.求卜列函数的极值：①/⑴=6x2-x-2；③/(x)=6+12x-x3；④f(X)=3
7、x-x3.知识拓展二函数在某点处不可导，但有可能是该函数的极值点；由些可见：“有极值但不一定可导知识点三：导数与函数的最值一般地，在闭区间［a.b］上连续的函数/(x)在［a,b］上必有最人值与最小值.观察:上图的极大值点,最小值为1.最值是比较整个定义域内的函数值得出的；极值是比较极值点附近函数值得出的.2.函数f(x)在闭区间［爲甸上连续,是f(x)在闭区间［a9b］上有最大值与最小值的条件.3.函数在其定义区间上的最大值、最小值战多各有一个，而极值可能不止一个，可能一个没有.例6.求函数/(x)=-x3-4x+4在［0,3］上的最大值与最小值.32
8、例7.已知门x)=logs心兰凹，x?(0,),是否存在实数a、b,使/⑴同时满
