§133函数的极值与最大（小）值与导数

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1、篠龜：§73夕爲毅的极值鸟眾丈(^)值鸟导嘏教学目标：1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间［a,b］上所有点(包括端点a,b)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤・教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。教学过程：一、创设情景♦函数极值与导数如图为表示高台跳水运动员的高度力随时间f变化的函数/2(r)=-4.9r2+6.5r+10的图象，我们发现,f=q时，高台跳水运动员距水而高度最大.那么，函数加r)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像

2、有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？【探究】如图,放大2d附近函数⑴的图像，可以看出当t0;当Qd时，函数M)单调递减，/2匕)<0;这就说明，在UQ附近，函数值先增后减，这样，当/在Q的附近从小到大经过a时，丹⑴先正后负，且丹⑴连续变化，于是有丹(0)=0。【思考】对于一般的函数y=/(X),是否也有这样的性质呢？【想一想】如图，函数y=f(x)在a,b处的函数值与这两个点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这两个点处的导数值是多少？在这两个点附近，y=/(x)的导数的符号有什么规律？【探究】由函数图象可知，函数y=f(x)在点x=的函数值.

3、f(a)比它在点兀附近其他点的函数值都小，fa)=0；而且在点x=«附近左侧，/*(x)<0,在点X=6Z附近右侧，广(兀)>0。函数y=/(x)在点x=h的函数值/(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，广(b)=0；而且在点x=b附近左侧,广(兀)>0,在点x=b附近右侧,广⑴<0。我们把图中的点a叫做函数y=f(x)的极小值点，/⑷叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，/(方)叫做函数y=/(x)的极大值。【总结】设函数〉=/(对在点无附近有定义，如果对无附近的所有的点，都有几对

4、兀0)；如果对兀。附近的所有的点，都有/(x)>/(x0),则称/(x0)是函数尸f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x())。极大值与极小值统称为极值。【想一想】如图为函数y=的图象，兀=c,d,®f,g是否为函数的极值点？如果是，请分析原因,如果不是，是说明理由.1!:0/Ty=Ax)ni.cd°f8hx【探究】由函数图象可知,函数y=/（兀）在点x=c,e,g的函数值/（c）,f（e）,f（g）比它在点x=c,e,g附近其他点的函数值都小，fc）=f'（e）=fg）=Q；而且在这些点附近左侧广（兀）＜0,在这些点附近右侧广（兀）＞0,由极值的定义可知这些点为函数y=f（x）的极

5、小值点，对应的函数值为函数y=/（x）的极小值;函数尸/（%）在点x=dj,h的函数值f（d）,/（/）,/（/?）比它在点x=dj,h附近其他点的函数值都大，fd）=ff）=fh）=O；而且在这些点附近左侧厂（兀）＞0,在这些点附近右侧/'（兀）＜0。由极值的定义可知这些点为函数y=f（x）的极大值点，对应的函数值为函数y=/（兀）的极大值。【总结】若尢0满足广（如）=0,且在兀0的两侧/（兀）的导数异号，则X。是/（兀）的极值点，/（兀0）是极值，当函数y=f（x）在点兀处连续吋，判别/（观）是极大（小）值的方法是：⑴如果在兀附近的左侧广（兀）＞0,右侧广（兀）＜（）,即“左正右负”

6、，那么/（观）是极大值；⑵如果在兀附近的左侧/V）＜0,右侧广（兀）＞0,即“左负右正”，那么/（如）是极小值。【思考】对可导函数，广（兀。）=0只是无。点为极值点的充要条件吗?【探究】对可导函数，/U）=0只是兀点为极值点的必要条件，例如，y=F在兀=0时广（0）=0,而函数在/?上为增函数，所以x=0处非极值点；对某点不可导函数，该点也可能为极值点，例如：f（x）=x,x=0是极小值，但兀=0时,函数不可导。【理解】⑴极值是一个局部概念，由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小，函数的极值是就函数在某一点附近的小

7、区间而言的；⑵函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个，也可能没有极值；⑶极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；⑷极值点的关键是这点两侧的导数异号，函数的极值点一定是函数定义域内部的点，区间的端点不能成为极值点。⑸可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点。♦求可