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1、伯努利方程具有伽利略变换的不变性李学生（山东大学物理学院山东济南250100）摘要：利用动能定理和机械能守恒定律重新推导了们努利方程，说明了经典的伯努利方程仅仅适用于固有参照系，对于运动系必须利用一般形式的伯努利方程，经典的伯努利方程是其特例，推广后的伯努利方程满足伽利略变换.关键词：伯努利方程；伽利略变换的不变性；推广；动能定理；机械能守恒定律1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”？流体速度加快时，物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加.为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”•伯努利效应适用于包插
2、气体在内的一切流体，是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大.1738年出版的《流体力学》一书是他的代表著作.书中根据能量守恒定律解决了流体的流动理论，提出了著名的伯努利定理，这是流体力学的重要基本定理之一•丹尼尔在气体动力学方面的贡献，主耍是用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力的由来•他认为，由于大量气体分子的高速规则运动造成了对器壁的压力，压缩气体产生较大的作用力是由于气体分子数增多，并且相互碰撞更加频繁所致.丹尼尔将级数理论运用于有关力学方面的
3、研究之中，这对于力学发展具有重要的意义.伯努利方程是能量方程式,说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、重力势能和动能三种形式的能量，在适合限定条件的情况下，流场中的三种能量都可以相互转换,但其总和却保持不变，这三种能量统称为机械能.由于理想流体的压力是保守力，因此压力能也可以称为压力势能.1、对于地而系观察者设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动方向从左向右，我们在管的⑦处和⑵处用横截面截出一段流体，即3处和色处之间的流体，作为研究对象.设句处的横截面积为流速为力,高度为力】；型处的横截面积为6,流速为V2,高度为hi.如图所示，经
4、过很短的时间Af,这段流体的左端9由日1移至0bi右端rha?移到血，两端移动的距离为△/］和“左端流入的流体体积为a%=$A1},右端流出的体积为AV2=S2A12.左端的力对流体做的功为:=厶，E=Q・$=p・・.侈二厶二qAP作用于右端的力尺=灿£,它对流体做负功（因为右边对这段流体的作用力向左，而这段流体的位移向右），所做的功为：W2=—F2Al2=—piS2Al2=—p>^V・•・两侧外力对研究液体所做的功为：5—p"AV.重力做功號pg（/?-/?,）Ar根据动能定理得叫（宀）△"（hfA弓PAm119整理后得：Q+-pV；+Qg
5、/Z]=0+—/^2+/7&包221°又0和戲是在流体屮任取的，所以上式可表述为：/A-pv2+pgh=恒量，这就是经典的伯努利方程，式中的三项都具有压强的量纲•其中丄P,相与流速有关，常称为动压强;2Pgh是由于流体自身所在高度（相对零势面）所产生的压强，p项与流速无关，常称为静压1°强.当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表达为P^-pr=常量.1.(1)»—pv~+pgh=C（常数）2把上式两边同除以密度P,便可得到如下的方程(2)p/p+—r+gh=cr（恒量）2方程（2）nJ从能量的角度來理解，其物理意义是描述了单
6、位质量的流体的压力势能、动能和重力势能三者之和在同一流线上为一恒量，即说明同一流线上流体的能量守恒.使用伯努利定律必须符合以下假设，方可使用；如没完全符合以下假设，所求的解也是近似值.①定常流：在流动系统屮，流体在任何一点Z性质不随时间改变.②不可压缩流:密度为常数,在流体为气体适用于马赫数（M）＜0.3.③无摩擦流:摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应•④静止惯性参照系，一般指地面系•流体沿着流线流动:流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的•此公式是选择理想流体中的细流管推导得出的，当令截面积趋于0时，细流管演变为流线，因此可适用于同一流线上
7、.把上式两边同除以密度pg,便可得到如下的方程p/pg+"g+h=C，，（恒量）该方程在水力学中广泛应用，第一项称为压力头，第二项称为流速头，第三项称为位置头，也称水头，因此该方程说明了同一流线上各点的压力头、流速头和位置头三者之和为一恒量.如上图所示，设xoy与xrory1坐标系对应平行，Hxrory1系相对于固有参照系(地面系)xoy以恒定速度u沿x轴的负方向运动，即u=—Ux,Uy二0,ufO.对于xroFyr系，在稳定流动的理想流体中截取的细流管，由AB位置流到AB，位置的过程中，，重力不做功，压力做的功等于△炉=%；-H；=pg+^f
8、)-p.Av2(A£,+^-0vi・・EAE=e?-e、~(Epy+Era)+EB.4)=(-wv22+mgh2)-(-wv,2+nigh.)=(丄p
