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《09讲抽象函数常见题型解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、抽象函数常见题型解法抽彖函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽彖函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点之一•抽象性较强，灵活性大，解抽彖函数垂要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸冇成竹.另外还要通过对题日的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽彖函数问题的方法。常见的特殊模型：四、解析式问题五、单调性问题六、
2、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一.定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。特殊模型抽彖函数正比例函数f(x)=kx(kHO)f(x+y)=f(x)+f(y)幕函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)［或f(xf(x)］yf(y)指数函数f(x)=ax(a>0H.a^l)f(x+y)二f(x)f(y)［或心y)=f(x)f(y)对数函数f(x)=log;lx(a>0且a^l)f(xy)=f(x)+f(y)［或f(±)=f(x)_f(y)］y止、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)
3、正切函数f(x)=tanx「，、f(X)+f(y)f(X+y)=l-f(x)f(y)余切函数f(x)=cotxf(x+y)=，-f(x)f(y)f(x)+f(y)目录：一•定义域问题二、求值问题三、值域问题例1.若函数y二f(x)的定义域是［—2,2］,则函数y二f(x+1)+f(x-1)的定义域为上空解:f(x)的定义域是［-2,2］,意思是凡被f作用的对象都在［-2,2］中。评析：已知f(x)的定义域是A,求.f(0(x))的定义域问题，相当于解内函数0&)的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是［-1,2］,求函数/f
4、
5、0gl(3-x)］的定义域。厲¥2)例2：已知函数/(log3x)的定义域为［3,11］,求函数f(x)的定义域。［1,logs11］评析：已知函数/@(兀))的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数0(x)的值域。练习：定义在(3,8]±的函数f(x)的值域为[-2,2],若它的反函数为f1(x),则y二广(2-3x)的定义域为,值域为。0,y,(3,8]二、求值问题——抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标，细心研究仮复试验；例3.①对任意实数x,y,均满足f(x
6、+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(l)HO,则f(2001)=解析:这种求较人自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令2仏y=l,得巾2+1)=/(对+2[/(1)]2,令x=O,y=l,得f(0+l2)=f(0)+2fr(l)]2,令x=y=O,得：f(0)=0,・・・f(l)=丄,即f(n+l)・f(n)=丄,故f(n)=』,.・.f(2001)=^W.2222②R上的奇函数y二f(x)有反函数y=f'(x),由y二f(x+l)与y=f'(x+2)S为反函数，则f(2009)=.解析：由于求的是f(2009),可
7、由y=f(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+l)=f(x)-2,又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R上的函数,f(l)=l,且对任意xeR都有f(x+5)$f(x)+5,f(x+l)Wf(x)+l•若g(x)=f(x)+l-x,则g(2002)=.1解:由g(x)=f(x)+l-x,得f(x)=g(x)+x-l.而f(x+5)3f(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)・l2g(x)+x・l+5,又f(x+l)Wf(x)+l,所以g(x+l)+(x+l)・lWg(x)+x
8、・l+l即g(x+5)$g(x),g(x+l)Wg(x).所以g(x)Wg(x+5)Wg(x+4)Wg(x+3)Wg(x+2)Wg(x+l),故g(x)=g(x+1)又g(l)=l,故g(2002)=1.(2)+…+f(2000)f(2001)的值是o2000/2(D+/(2)
9、/(I)严(2)+/(4)
10、严(3)+/(6)
11、/(3)兀5)/"4)+/⑻/(7)f(n)=T原式=16)练习：1.f(x)的定义域为(Q4<4,对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).fl.f(4)=2，则/(&)=则Y二F(⑹为()(A)
12、161i35、(1)v/(-)=a・・・/(-)=a2,/(-)=(l-a)a+a24413—i—X/(—)=/(A24)=(1-a)a2+aa+a(l-a)],可解得a=jI
13、o+—.j(2)^/(y)=b,则/(y)=/(^-)
