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《28计数方法(含答案)-》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、28.计数方法知识纵横所谓计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来.当研究的对象比较简单，且数目也不人时,枚举法是最基本而乂简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，数出总数即可.当研究的对象比较复杂,且数目较大吋，计数时常常要用到如下两原理：加法原理:做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法小有叫种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法…，在第n类办法中有II”种不同的方法，那么完成这件事共有N=mi+m2+…叫种不同的方法.乘法原理:做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有g种不同的方法，做第二步冇
2、啦种不同的方法……做第n步有g种不同的方法，那么完成这件事共有N二mi・m?•…mn种不同的方法.例题求解【例1】如图，从甲地到乙地共有4条路可走,从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到内地有5条路可走，那么从甲地到内地共有条.（2000年重庆市竞赛题）思路点拨从甲地到丙地口J分两类办法:直达和转乙地.解：17提示:共有3X4+5=170）路町走【例2】右图中的小方格是边长为1的正方形,则从图方形个数.解:选C提示:边长为1的正方形为4X6个,边长为2的正方形有3X5个,边长为3的正方形有2X4个,边长为4的正方形有1X3个，共有4X6
3、+3X5+2X4+1X3=50（个）【例3】我们知道,两条肓线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一•般地,n条岂线最多有多少个交点？说明理由.思路点拨从特殊情况入手，由简到繁，深入思考，从屮发现规律.解:捉示:三条直线的情形:若平面上已有两条直线，再添一条直线，则这条直线和原来平而上的两条直线各有一个交点，所以有1+2个交点，同理,4条直线的情形为在原来三条直线的基础上添加一条直线,共多出3个交点，所以有1+2+3个交点.一般地,n条直线两两相交，其交点数为1+2+・・・+
4、(旷1)二巴匸12个.2【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字，可以组成(1)多少个四位数，其中有多少个奇数，有多少个偶数？(2)多少个没有重复数字的四位数，其中有多少个奇数，有多少个偶数？思路点拨要确定四位数，必须一位一位来考虑，显然计数时，需要用乘法原理，(2)问与(1)问的差别在于，增加了“没有垂复”的限制.解:提示：(1)这个四位数的最高位不是0,故最高位有6种选法(即选1~6中的任一个数字)，其余各位,可以从0〜6这7个数字中任选，故共有6X7X7X7=2058个四位数，在这些四位数中，奇数的个数也可用类似方法获得
5、，有6X7X7X3=882个，偶数2058-882=1176个.(2)同理，没有垂复数字的四位数有6X6X5X4=720个，其中奇数冇3X5X5X4=300个，其中偶数有720-300=420个.【例5】两条平行岂线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段：①同一直线上的点ZI'可不连接,②连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点.(1)画图说明当n二1,2,3时，连接的线段最多各有多少米？(2)由⑴猜想n(n为正整数)对点Z间连接的线段最多冇多少条，证明你的结论；(3)当n=2003时，所连接的线段最多有多少条？(
6、第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨把总线标记为LL,它们上而的点从左到右分别为AbA2,A3,-An和BbB2,B3，・・・Bn,设这n对点Zl'可连接的直线段最多有Pn条，解题的关键是探讨P讪与Pn的关系.解：⑴由下图①可以看出g时,最多可以连接1条线段，沪2时,最多可以连接3条线段,n二3时，最多可以连接5条线段.图①(2)猜想:对于正整数n,这n对点Z间连接的直线段最多有2n-l条.证明:将直线标记为L］、L2,它们上面的点从左到右排列分别为AbA2,A3,-An和B］,B2,B3,・・・,Bn,设这n对点Z间连接的直线段
7、最多冇Pn条，显然，其中必冇A£n这一条，否则,Pn就不是最多的数.当在L
8、、L2上分别加上第n+1个点时，不妨设这两个点在入与禺的右侧，那么除了原来已经有的Pn条直线段外，还可以连接A11+1Bn,An+iBn+1这两条线段，或连接AnBn+1,An+lBn+1这两条线段.所以Pn+&Pn+2,另一方面,设对于n+1对点有另一种连法：考虑图②屮以An+］为端点的线段，若以An+］为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个iWn,使得对于任意的j9、+1连接,不妨设An+
10、Bi+i,An+
11、Bi+2,…,An+]Bn+]都已连接,此时图中的线段数为P”l,我们做如卜-操作：去掉An+冋,连接AnBi+I,得到新的连接图，而新的连接图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进行下去,直
