7-3 z变换理论

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1、实验安排实验时间：第14周周五、周六、周日实验地点：机电楼C座220实验安排：周五18：00～19：30，电气09－1周六19：30～21：00，电气09－1周六13：30～15：00，电气09－2周六15：30～16：30，电气09－2周六18：00～19：30，电气09－3周六19：30～21：00，电气09－3周日09：00～10：30，电气09－4周日10：30～12：00，电气09－47-1离散系统的基本概念7-2信号的采样与保持7-3z变换理论7-4离散系统的数学模型7-5离散系统的稳定性与稳态误差7－6离散系统的动态性能分析7－7离散系统的数字校正第七章线性离散系统的分析与校正

2、7-3z变换理论z变换是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，z变换又称为采样拉氏变换，z变换定义z变换方法z变换性质z反变换关于z变换的说明1、z变换的定义连续函数拉氏变换为有对于采样信号故采样信号的拉氏变换为显然这种拉氏变换含有指数函数不易运算.令变量记作(7-26)T：采样周期；z：复数平面上定义的一个复变量，称为z变换算子。(7-27)(7-28)则(7-29)后一记号是为了书写方便，并不意味着是连续信号e(t)的z变换，仍指采样信号e*(t)的z变换，其含义是将e(t)进行采样，得到e*(t)，然后再对e*(t)进行z变换。说明：2)z变换仅

3、是一种在采样拉氏变换中，取的变量置换，通过它可将s的超越函数转换为z的幂级数或z的有理式。E(z)与e*(t)是一一对应的。但是e*(t)与e(t)并不是一一对应的，不同的e(t)可以得到相同的e*(t)。(7-29)7-3z变换理论z变换定义z变换方法z变换性质z反变换关于z变换的说明2、z变换的求法(1)、级数求和法例7-6：试求e(t)=1(t)的z变换。解：由于e(t)=1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1，即e(nT)=1(n=0,1,2…)若则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式直接根据z变换的定义,写成展开形式：(7-28)(7-30)然后求这个无穷级数之和。例7-7设试求

4、理想脉冲序列的z变换。解:因为T为采样周期，故由拉氏变换知从上两例可见，相同的z变换E(z)对应于相同的采样函数e*(t)，但是不一定对应于相同的连续函数e(t)，这是利用z变换法分析离散系统时特别要注意的一个问题。例3求的z变换（a>0）注意：不要写成，虽然也对但非常用形式。例4求序列函数的z变换。解:例5求的z变换。解:有时原函数不是以e(t)的形式给出，而是以E(s)的形式给出，此时(2)部分分式法a、先求出已知连续函数e(t)的拉氏变换E(s)；b、将有理分式函数E(s)展开成部分分式之和的形式，而每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的z变换是已知的，于是可以方便地求出E(s)函数

5、对应的z变换E(z)。的含义是利用部分分式法求出z变换时，应用例7-6和例7-4的结果，例7-8求的z变换。7-3z变换理论z变换定义z变换方法z变换性质z反变换关于z变换的说明3、z变换性质（1）线性定理其中，则说明z变换是一种线性变换，满足齐次性和可加性。a为常数，若证明：由Z变换定义(2)实数位移定理，又称为平移定理含意：实数位移定理的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。(7-33)(7-34)其中k为正整数。滞后定理—右移超前定理—左移证明z变换滞后定理证明：由Z变换定义由于z变换的单边性，当m<0时，e(mT)=0。所以m必定大于

6、0。作变量代换，令m=n(7-33)证明z变换超前定理令：m=n+k，则，n=0时，m=k；n=∞时，m=∞作变量代换：令n=m在平移定理中，e(t-kT)是一个延迟函数，是e(t)函数滞后kT时间；e(t+kT)是e(t)超前kT时间。物理意义是：z-k代表时域中的延迟环节，它将采样信号延迟了k个采样周期；zk代表了超前环节，它把采样信号超前了k个采样周期。例7-10用实数位移定理求的z变换，其中a为常数。而原式中k=1,(3)复数位移定理：若函数e(t)是可以Laplace变换，其z变换为E(z)，则有：证明：由z变换定义(7-35)含义：采样信号e*(t)乘以指数序列　　　的z变换，等

7、于在e*(t)的z变换表达式E(z)中以　　取代原算子z。例7-11试用复数位移定理计算函数　　　的z变换。解：函数可看作e(t)=t，而指数函数是e-at(4)终值定理如果函数e(t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值（n=0,1,2,……），且极限　　　　　存在，则函数序列的终值为在离散系统中，常用终值定理求取稳态误差。(7-36)例7－12设z变换函数为试用终值定理确定e(nT)的终值。解：