资源描述：
《17数列中存在性问题的研究(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题：数列中存在性问题的研究（1）一、问题提出问题：,近,3不可能是一个等差数列中的三项.二、思考探究探究一：探究1.1设等差数列｝的前n项和为s”,且他+%=34,S3=9.（1）求数列⑺”）的通项公式及前«项和公式；（2）设数列｛仇｝的通项公式为化=七'问：是否存在正整数「使得如%b,nn（,n>3,//zeN）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）an-2n-1,Sn=n22n-1（2）bn=,要使得几—成等差数列，贝q26=0+52n-l+tlfn312/n-1irn4即：2=1UP：m=3+3+t1
2、+/2m-l+tt-1Vm.tgN*,.•・/只能取2,3,5当t=2时，m=7；当t=3时，in=5；当t=5时，加=4.【注】“存在”则等价于方程有解，木例利用整除性质解决.探究1.2设公差不为零的等差数列@”｝的各项均为整数，S”为其前77项和，口满足叠二—弓，s7=7.（1）求数列仏”｝的通项公式；（2）试求所冇的正整数加，使得%當2为数列｛①｝中的项.【解】（1）因为｛%｝是等差数列，且57=7,而$7=7（"『）=7偽,于是a4=l.2分设何｝的公差为d,贝I」由竽得（1_辔异）=_号,化简得山_27〃+9=0,即（d—3）（8〃
3、一3）=0,解得〃=3或〃导，O但若d=£由勺=1知不满足“数列匕｝的各项均为整数”，故d=3.5分O于是％=角+（〃一4）d=3〃一11.7分（2）因为5"皿=（佥+引（仏+6）=+9+11,%=3/?—11=35—4）+1,・•・・••10分54“％所以要使5當2为数列｛%｝小的项，严必须是3的倍数，于是q”在±1,±2,±3,±6中取值,但由于〜-1是3的倍数，所以匕”=1或仏=-2・由％=1得〃7=4；由匕”=一2得加=3.13分当山=4吋,f〃宀2=弩2=口当也=3吋,f吩2=12£刍=弘・51'〜-2'所以所求m的值为3和4・16
4、分o解
5、_^
6、y.a,”+14”+2_⑶"一8)(3n?-5)_(3加一11)~+9(3加一11)+18~7-~3m一11~3加一11=3m-2+183m-11=3m-2+2x3x33(/77-4)+1所以要使笔仏为数列仏｝屮的项，[必须是3的倍数,于是3（加-4）+1只能取1或-2.（后略）探究1.3已知数列8｝中，。2=1，前料项和为必,且（1）求Qi；(3)设lgb“=（2）证明数列｛禺｝为等差数列，并写出其通项公式；，试问是否存在正整数”，gCH冲7、说叨理由.【解】(1)令“=1,则Qi=S]=2°=°•⑵由—灼吐，即S古②—①，得（“一1）%
8、=叫•于是,nan+2=(n+l)an+l.“+2③+④，得natl+2+nan=2nan+i,即aZJ+2+an=2a又dl=O,。2=1，。2一。1=1，所以，数列｛禺｝是以0为首项，1为公差的等差数列.所以，aH=n—1.（3）解法1：假设存在正整数数组®d使b—q成等比数列,则1凸，Ig如，lg如成等差数列,于是,“12时,"$+["）-争=匚卩丁vO,故数列｛器｝（"'2）为递减数列,沦3时,百+锯）_（”刍）=守<0,故数列叶+护（空
9、3）为递减数列,（器）皿=扌’（扌+翻nm=扌’即p=2,g=3时,器=*+寺又当心3时，=故无正幣数q使得糾”詈成立.解法2：同上有，*=*+¥〉*,且数列｛弓｝（p>2）为递减数列，3JJj当P=2时,寻成立；当八3时，=因此，由#•〉*得，P=2，此时g=3【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性.本例蕴含分类讨论思想.探究二：探究2.1等差数列匕｝的前/?项和为S“，+近,53=9+3>/2・（1）求数列｛an]的通项a“与前兀项和Stl；£（2）设氏吕gN）求证：数列也｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.n
10、[a〕=y[2+1,【解】（1）由已知得｛1厂，•••6l=2,[3a]+3d=9+3yl2故an=2n一1+a/2,Sn=n（n+a/2）.(2)由(1)得仇=£=〃+©.n假设数列他｝中存在三项bp,札，b「（0g,厂互不相等）成等比数列，则=bphr.即（9+V2）2=（p+V2）（r+V2）.（q?一pr）+（2q-p-r）V2=0Tp,q,reN*,=pr,(p-r)2=0,p=r._pr=0,[2q-p-r=Q,与pHr矛盾.所以数列｛bn｝中任意不同的三项都不可能成等比数列.【注】在反证法屮利用有理数性质产生矛盾.探究2.2己知
11、数列｛©｝满足：再二丄,"1+%）=2（1+色）,gm+]V0（/2、1）,数列也｝满足：21-%1-%俵二d；+]—d；（“ni）・（1）求数列｛%｝,｛仇｝的通
