数列中的存在性问题 经典(教师)

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1、专题:数列中的存在性问题一、单存在性变量解题思路:该类问题往往和恒成立问题伴随出现(否则就是一个方程有解问题,即零点问题),可以先假设存在,列出一个等式,通过化简,整理成关于任意性变量(一般为n)的方程,然后n的系数为0,构造方程,进而解出存在性变量,最后检验。例1、已知数列{}的前项和为=,在数列{}中,=8,=0,问是否存在常数使得对任意,恒为常数,若存在求出常数和,若不存在说明理由.解析:假设存在常数使得对任意,恒为常数,∵=,∴当=1时,则==8,当≥2时,===,当=1适合,∴=,又∵=0,∴=,∴数列{}是首项

2、为8,公比为的等比数列,∴==,则===,又∵对任意,恒为常数,∴=0,解得=2,∴==11,∴存在常数=2使得对任意,恒为常数=11.二、双存在型变量第11页共11页解题思路:先假设存在,根据题目条件,列出一个含有两个变量(一般至少都为正整数)的等式,即转化为一个数论中的双整数问题,然后分离变量。如果可以分离常数,则利用数论中约数的知识列出所有可能情况,最后进行双检验,即对两个变量均进行条件检验;如果不可以分离常数,则利用分离出的变量所具有的隐含范围(如大于0)消元,进而构造一个不等式,解出另一个变量的范围,再列出求出的

3、被压缩的范围里的所有整数值,分别求出对应的另一个存在性变量,最后进行检验。例2、【2010南通一模】设等差数列的前项和为且.(1)求数列的通项公式及前项和公式;(2)设数列的通项公式为,问:是否存在正整数t,使得成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.【解】(1)设等差数列的公差为d.由已知得………………2分即解得……………………………………………………………4分.故.…………………………………………………………………6分(2)由(1)知.要使成等差数列,必须,即,……………………………………………………

4、…………8分.(3)整理得,……………………………………………………………11分因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当时,;当时,;当时,.故存在正整数t,使得成等差数列.………………………………15分例3、设数列的前项和,数列满足.(Ⅰ)若成等比数列,试求的值;(Ⅱ)是否存在,使得数列中存在某项满足成等差数列?若存在,请指出符合题意的的个数;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)因为,所以当时,……………………3分又当时,,适合上式,所以()…………………4分第11页共11页所以,则,由,得,解得(舍)或,所以…………

5、……7分(Ⅱ)假设存在,使得成等差数列,即,则,化简得…………………………………12分所以当时,分别存在适合题意,即存在这样,且符合题意的共有9个………………………………………14分例4、【2010徐州三模】已知数列是各项均不为0的等差数列,为其前项和,且满足,令,数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式及数列的前n项和为;(2)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.解:(1)因为是等差数列,由,又因为,所以,………………………………………………………2分由所以.…………………………

6、…6分(2)由(1)知,,所以,若成等比数列,则,即.……8分第11页共11页解法一:由,可得,所以,……………………………………………………………12分从而:,又,且,所以,此时.故可知:当且仅当,使数列中的成等比数列。…………16分解法二:因为,故,即,………12分从而:,(以下同上).三、三个存在型变量------连续的解题思路:这类问题的形式一般是,“是否存在连续的三项,恰好成等差数列(或等比数列)”。可以先假设存在,然后构造一个关于单存在性变量的方程,即转化为一个方程有正整数根的问题,我们可以按照处理零点问题的方

7、法(“解方程”或者“画图像”)求解。例5、【扬州2010一模】已知数列,.⑴求证:数列为等比数列;⑵数列中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由;⑶设,其中为常数,且,,求A∩B.解:⑴∵=,∴,∵∴为常数∴数列为等比数列------------------------------------------------------------4分⑵取数列的连续三项,第11页共11页∵,,∴,即,∴数列中不存在连续三项构成等比数列;-----------------------------------------

8、-9分⑶当时,,此时;当时,为偶数;而为奇数,此时;当时,,此时;----------------------------------------------12分当时,,发现符合要求,下面证明唯一性(即只有符合要求)。由得,设,则是上的减函数,∴的解只有一个从而当且仅当时,即,此时;当时,,发现符合要

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