矩阵论讲义（四号）7

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1、第七章矩阵的直积一、直积的概念与基本性质定义设A=(«..)€CwxB=0..)gCw,A和〃的直积A0B定义为a2nBauBanBA®B-可见A®B是以atjB为i行j列子块的分块矩阵,且任意两个矩阵都可以作宜积，其结果是一个(m/?)x(nq)矩阵。<01]-br1<-32-23、一1丿，试求A®B和B0A。A®B=<246123〕B、-6-4-2-3-2-1■B)000-1-2-3<000321丿/'2B、0<214263A2A3A>0-10-20-33A-2AT丿-6-3-4-2-2-130201B®A=由此例口

2、J见，一般地A®BB®A,即直积一般不满足交换律,具冇以下一些性质。z但直积仍性质1k(A®B)=(M)®B=A®(kB)；(数因子结合律)性质2(A+B)®C=(A®C)+(B®C),(右分配律)C(8)(4+B)=(C0A)+(C区)B)；(左分配律)证(A+〃)0C的(f,j)•分块元素为冋+%)C=a.C+b.C,它等于(A®C)+(B®C)的(门)■分块元素。证毕性质3(A®B)®C=A®(B®C)；(乘法结合律)证A®(B®C)=:5(〃®C)…％(B0C)丿仏〃…%B、=::®C=(A®B)®C证毕…atn

3、nB}性质4=(A®B)h=Ah®Bh；(转置规则)证(A(8)〃)T的(门)■分块元素为竹刃，恰为AT®Bt的(ij)■分块元素。证毕性质5(A®B)(C®D)=(AC)®(BD),(混合积规则)其屮AwC〃呦，CgC,,xDeCgxr；(cwD…q$z)、证(A®B)(C®D)二；••••••SnD…％。(ZUCQBD…(为a}k%)BD=(AC)®(BD)证毕送％cJBD…迟％cQBDIjl=lk=性质6设4是加阶可逆矩阵，〃是n阶可逆矩阵，则A®B可逆，且(A®B)_,=A_1®B_1(求逆规则)证(A0B)

4、(A'1®B'1)=(AA-1)®(BB1)=Im®In=Imn证毕例设xeRfl是单位列向量，AeR'ixn是正交矩阵，贝ijA®x=4^.F分析

5、

6、A®x

7、

8、F=7tr[(A®x)H(A®x)]=7tr[(AH®xH)(A®x)]=Jtr[(AHA)®(xHx)]=Jtr(人(8)1)==眉性质7设A是加阶方阵，B是斤阶方阵，且入,入，…&是A的特征值，对应的特征向量是无，工2,…,兀/又n，“2,…，〃”是B的特征值，对应的特征向量是儿儿，…,儿。贝'JAAj(i=l,2,…肿丿=1,2,…/)是A®B的特征値，对应

9、的特征向量是xi®yz(i=1,2,•••,/??；7=1,2,•••,/?)0证毕证因为Axi=A.ixi(i=),By)=p汙j(丿=1,2,…,斤)，所以(A®B)(xz®)=(Ax,.)®(Byj)=(/I,.x,.)®(//z)=(/I,//-)(xy®j.)性质8设A是加阶方阵,B是〃阶方阵，则det（A®B）=（detA）w（detB）z%证det（A®B）=（入“J…（人血）（&“J…（也）…（人必）…（血“〃）=（/1，入…&”）"（〃1“2•••“〃）J（detA）"（detB）"证毕性质9设A是加阶方

10、阵，〃是〃阶方阵，贝lJ（A®ZJ+（Zw®B）奇异的充要条件是，A与-〃有公共的特征值。证设Axi=Aixi（Z=l,2,…，加）,Byj=Pjyi（j=1,2,•••,/?）,则有{(A®ZJ+(/w®B)](Xj®yj)=(A®In)(xi®yj)+(//w®B)(x,.®儿)=(Ax,.)®jy+x,.(8)(〃儿•)=(&•+“»(xz®j.)可见，的特征值是&•+“「对应的特征向量是x,.®j.(i=1,2,…，加;丿=1,2,…,〃)。于是(A0/J+(/w0B)奇异oA-+仇=0即A与一〃有相同的特征值盘=

11、一％。证毕例已知A—1,0,3,2,0,—6oZ例已知A=分析设Axt.=&*•,贝ij(A®I+A2®A)(xz®xy)=[(Axz)®xy]+[(A2xz)®(Axz)]=(&+(x;.®xp从而A®/+A2®A的特征值为Az.+(z,j=l,2)o可求得A的特征值为<110一2丿‘-100、200,则A®B的特征值为厂463丿,则A0Z+A2®A的全体特征值为0,0,2,10o人=0,入=2,代入即得A®I+A2®A的特征值。二、矩阵的拉直及其性质定义设A=(^.)eCwx矩阵A的按行拉直规定为A=(°】】，…，，

12、°21，…，，…，，…，厂14、例设A=25,则A=(1,4,2,5,3,6)To〔36丿矩阵的拉直具有如下一些性质：性质1kA+lB=kA+lB；(线性性质)性质2设AgCw,x/,,X€Cnxp,BeCpxS贝ijAXB=（A®BJ）XO证设A=(切)"X=，其中巧是X的第，行(21,2,…,)。